% !TEX TS-program = LuaLaTeX
% !TEX encoding = UTF-8 Unicode 
% !TEX root = ../../mal-core.tex

\gdef\mujnazevCS{Rozlišování realizací náhodných množin}
\gdef\mujnazevEN{Distinguishing between realisations of random sets}
\gdef\mujnazevPR{\mujnazevCS}
\gdef\mujnazevDR{\mujnazevEN}
\gdef\mujauthor{Kateřina Helisová, Jakub Staněk}

\bonushyper
\fboxsep=0pt
\fboxrule=1pt
\def\malhat{\widehat}
\def\malcheck{\widecheck}
\def\malmax{\max}
\def\malmin{\min}
\def\maltilde{\widetilde}
\def\dd{\,\mathrm{d}}
%\tikzset{inner sep=0pt, outer sep=0pt}

\nazev{\mujnazevCS}

\nazev{Distinguishing between realisations of\\[2pt] random sets}

\author{Kateřina Helisová$^1$, Jakub Staněk$^2$}

\Adresa{%
$^1$FEL \v{C}VUT v~Praze, Technick\'{a} 2, 166\,27 Praha~6; 
$^2$MFF UK, Sokolovsk\'{a} 83, 186\,75 Praha~8%
}

\Email{heliskat@fel.cvut.cz, stanekj@karlin.mff.cuni.cz}

\Abstrakt{Článek je přehledem dosud zkoumaných a~publikovaných metod rozlišování dvou realizací náhodných množin ve smyslu rozhodnutí, zda jsou si realizace (ne)podobné svými základními rysy.
Metody se zaměřují na různá pojetí podobnosti realizací, přičemž všechny jsou založené na dvou náhodných výběrech funkcí -- po jednom z~každé realizace -- popisujících specifické rysy komponent. 
Shoda pravděpodobnostních rozdělení těchto funkcí je pak testována a~realizace jsou považovány za podobné, jestliže shoda není zamítnuta.
Metody jsou zde stručně popsány a~numericky ilustrovány na simulační studii.
Na závěr je pak uvedeno srovnání výhod a~nevýhod jednotlivých metod.}
%\smallskip
\KlicovaSlova{Morfologický skelet, $\mathcal{N}$-vzdálenost, náhodná množina, obálkový test, opěrná funkce, podobnost, realizace, sousedství komponenty, spojitá komponenta}

\Abstract{The paper concerns an overview of recently developed methods for comparing two realisations of random sets in the sense of deciding whether the basic features of the realisations are (dis)similar.
The methods concern different definitions of similarity while all of them are based on deriving a~sample of functions from each realisation, which describe the shapes or even the mutual positions of the realisation components. 
The equality of probability distributions of the functions is then tested, and the realisations are considered to be similar if the eguality is accepted. 
The methods are briefly described, their advantages and disadvantages are mentioned, and the conclusions are justified by a~simulation study.}
%\smallskip
\KeyWords{%
Morphological skeleton, $\mathcal{N}$-distance, 
Random set, Envelope test, Support function,
Similarity, Realisation, 
Neighborhood,
Connected component}




\section{Úvod}

Realizaci náhodné množiny si můžeme představit jako geometrické znázornění objektu, jehož tvar je výsledkem nějakého náhodného procesu. Takovým objektem může být třeba rostlinný porost, výskyt konkrétního nerostu v~hornině, shluk buněk v~tkáni apod.
Matematické a~zvláště pak statistické studie náhodných množin, tedy procesů, kterými jsou výše popsané objekty vytvářeny, nám mohou přinést spoustu užitečných informací o~chování těchto procesů, a~tudíž i~o~možnostech jejich regulace a~praktického využití.

V~posledních letech se modelování a~statistické analýzy náhodných množin staly velice populárními, a~to zvláště díky rozvoji výpočetní techniky umožňující rozsáhlé simulační studie, na nichž jsou tyto analýzy často založeny. 
Z~teoretického hlediska se jimi zabývali např. \cite{matheron:1975}, \cite{molchanov:2005} nebo \cite{serra:1982}, jiní pak zkoumali jejich aplikace např. v~biologii \cite{moeller:2010}, lékařství \cite{hermann:2015}, materiálových vědách \cite{neumann:2016} a~dalších oblastech.

Obvykle se pro realizaci náhodné množiny (v~praxi pak většinou binární obrázek, který je aproximací této realizace v~daném rozlišení) snažíme nalézt vhodný model.
Občas ale  znalost konkrétního modelu není nutná, neboť je našim cílem porovnání dvou či více realizací ve smyslu rozhodnutí, zda realizace pocházejí ze stejného procesu, viz např. rozlišování tkáně zasažené buďto zhoubným nádorem nebo mastopatií \cite{mrkvicka:2011}.

A~právě takovým porovnáním se zabývají níže popsané metody.
Na základě podobnosti dvou realizací rozhodují, zda příslušné dva objekty mohou pocházet ze stejného vytvářecího zdroje (např. rakovinové bujení vs. nezhoubný nádor, zdravý rostlinný porost vs. porost zasažený škůdcem apod.).
Jen poznamenejme, že samotné  přiřazení realizací ke konkrétním procesům tento článek neřeší, to je  úloha klasifikace. Zde se zabýváme pouze otázkou, zda jsou si dvě  realizace podobné či nikoliv.
Podobnost je zde definovaná jako shoda pravděpodobnostních rozdělení skupiny funkcí, které množinu popisují. %charakterizují. 
Pro různé metody jsou však tyto funkce různé, neboť v~různých praktických situacích nás zajímají rozdílné aspekty (např. v~případě tkáně nás zajímá hlavně tvar buněk, zatímco v~případě rostlinných porostů i~vzájemná poloha shluků rostlin), tudíž některé metody mohou dvě realizace považovat za podobné a~jiné je mohou rozlišit.
Našim cílem tedy není konstrukce testů shody pravděpodobnostních rozdělení náhodných množin, z~níž realizace pocházejí, nýbrž testování podobnosti realizací dle odpovídající definice. 
Rozlišením dvou realizací pak máme na mysli situaci, kdy test podobnost realizací zamítne.
%\enlargethispage{\baselineskip}

Přestože existují klasické nástroje pro popis náhodných množin jako např. kovarianční funkce~\cite{chiu:2013}, kontaktní distribuční funkce~\cite{chiu:2013}, funkce na morfologických operacích (dilatace, eroze, otevírání a~zavírání množiny)~\cite{serra:1982}, granulometrická funkce \cite{serra:1982} atd., jsou situace, kdy tyto charakteristiky nemusí být k~rozlišení dvou realizací dostatečné. 
Všechny navíc mají tu nevýhodu, že pro jednu realizaci vždy obdržíme pouze jeden odhad dané funkce, takže srovnání realizací pak probíhá více méně optickým porovnáním těchto funkcí, nikoliv formálním statistickým testem shody pravděpodobnostních rozdělení skupiny funkcí, která nám definuje podobnost.
Tímto problémem se v~posledních letech zabývaly publikace \cite{debayle:2020}, \cite{gotovac:2019a}, \cite{gotovac:2019b} a~\cite{gotovac:2016}, jejichž přehled, stručný popis a~srovnání jejich výhod a~nevýhod je náplní tohoto článku.

Článek je organizován následovně.
Kapitola \ref{sec:TB} uvádí základní definice a~již existující teoretické výsledky použité v~dále popisovaných metodách, v~kapitole~\ref{sec:methods} popíšeme tyto metody a~nakonec je v~kapitole~\ref{sec:overview} porovnáme a~výsledky ilustrujeme na simulační studii.



\section{Teoretické základy}
\label{sec:TB}

\subsection{Náhodné množiny a~mozaiky}

\begin{definition}
Nechť $\mathcal{F}$ je rodina uzavřených množin a~$\mathcal{C}$ rodina kompaktních množin v~$\mathbb{R}^2$. 
Nechť $(\Omega, \Sigma, P)$ je pravděpodobnostní prostor.
Zobrazení $\mathbf{X} :\Omega \to \mathcal{F}$ se nazývá náhodná uzavřená množina, jestliže pro každou kompaktní množinu $K \in \mathcal C$ platí $\left\{ \omega \in \Omega : \mathbf X \cap K \neq \emptyset \right\} \in \Sigma.$
Rozdělení $P_{\mathbf X}$  náhodné množiny $\mathbf X$ je dáno vztahem
$P_{\mathbf X}(F) = P\left( \left\{\omega \in \Omega: \mathbf X(\omega) \in F \right\} \right)$ pro $F \in \mathcal{B}(\mathcal{F}),$ kde $\mathcal{B}(\mathcal{F})$ je borelovská $\sigma$-algebra na $\mathcal F$. 
\end{definition}

\begin{remark}
Je-li množina hodnot zobrazení $\mathbf{X}$ složená pouze z~konvexních kompaktních množin, což v~některých pasážích níže předpokládáme, mluvíme o~$\mathbf{X}$ jako o~náhodné 
%náhodné 
konvexní kompaktní množině.
\end{remark}

Pro jednoduchost si pro naše účely můžeme představit náhodnou množinu jako dvoudimenzionální geometrický objekt náhodného tvaru.
Realizací $X$ náhodné množiny $\mathbf X$ pak myslíme konkrétní tvar, tj. konkrétní množinu $X = \mathbf X(\omega)$ pro dané $\omega$.
Jelikož v~praxi obvykle dostáváme realizace ve formě digitálních binárních obrázků, budeme používat pojem ,,realizace"{} i~pro tyto obrázky.
Pro práci s~realizacemi pak budeme potřebovat následující pojmy.

\begin{definition}
Pro množiny $X,Y \in \mathcal{F}$ definujeme Hausdorffovu metriku
$$
d_H(X,Y)=\max\left\{ \sup_{x \in X}\inf_{y \in Y} \left\|x-y\right\|,\ \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X}\left\|x-y\right\|\right\},
$$
kde $\left\| \cdot \right\|$ značí eukleidovskou vzdálenost na $\mathbb{R}^2$.
\end{definition}

Pro binární obrázky složené z~černých a~bílých pixelů, které pro výpočetní účely reprezentujeme maticí jedniček a~nul, definujeme následující pojem.

\begin{definition}
Frobeniova norma matice $A$ o~rozměrech $m \times n$ je definována vztahem $\left\| A \right\|_F = \left (\sum_{i=1}^m \sum_{i=1}^n (a_{ij})^2 \right)^{1/2}$.
\end{definition}

Významná část teorie náhodných množin je věnována náhodným konvexním kompaktním množinám. 
Jedna z~níže prezentovaných metod je přímo založena na aproximaci realizací těmito množinami, přičemž hlavní roli zde hraje následující funkce.


\begin{definition}
Pro (náhodnou) konvexní kompaktní množinu $\mathbf X$ definujeme její
opěrnou funkci
\[
  h_{\mathbf X}(u) = 
  \sup_{x \in \mathbf X} \langle u,x \rangle,
  \quad 
  u\in \partial b(0,1),
\]
kde $\partial b(0,1)$ je jednotková sféra v~$\mathbb R^2$, tj. kružnice se středem v~počátku a~jednotkovým poloměrem.
\end{definition}


Body na jednotkové sféře přitom můžeme nahradit úhly mezi vodorovnou osou a~spojnicí počátku s~příslušným bodem na kružnici.
Pak opěrnou funkci intepretujeme jako vzdálenost počátku od opěrné nadroviny, tj. od přímky, která je kolmá na daný směr a~leží v~maximální možné vzdálenosti tak, aby s~danou množinou měla neprázdný průnik, viz obr.~\ref{fig:support}.
Jinými slovy opěrná funkce popisuje jistý dosah množiny ve všech směrech.


\newdimen\temphere \temphere=2.5cm
\begin{figure}[!ht]
\ifx\relax
\centerline{\includegraphics[width=\temphere,height=\temphere]{square_supplanes.pdf}
\hspace{0.1cm}
\includegraphics[width=\temphere,height=\temphere]{H_square.pdf}
\hspace{0.7cm}
\includegraphics[width=\temphere,height=\temphere]{disc_supplanes.pdf}
\hspace{0.1cm}
\includegraphics[width=\temphere,height=\temphere]{H_disc.pdf}}%
\fi
%
% new
\tikzset{every picture/.style={semithick}}
% první bobr
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw (-2.2,-2.2) rectangle (2.2,2.2);
\draw [draw=none,fill=lightgray] (-1,-1) rectangle (1,1);
\draw (1,-2) -- (1,2);
\draw[densely dotted, black] (0,0)--(1,0);
\draw[densely dotted, red] (0,0)--(6/5,3/5); %(1,0.5);
\draw[densely dotted, blue] (0,0)--(1,1);
%
\draw[blue] (0,2)--(2,0);
\draw[red] (0.5,2)--(2,-1);
%
\foreach \x in {-2,...,2} {
  % osa x
  \draw (\x,-2.20)--(\x,-2.4);
  \node[scale=0.7] at (\x,-2.75) {$\x$};
  % osa y
  \draw (-2.20,\x)--(-2.35,\x);
  \node[anchor=east,scale=0.7] at (-2.3,\x) {$\x$};
}
\end{tikzpicture}
%
\hfill
% 2. v pořadí
\begin{tikzpicture}
  [xscale=0.35, yscale=4.89]
  [domain=0:6.3]
\draw (-0.2,0.98) rectangle (6.45,1.44);
%
\foreach \x in {0,...,6} {
  % osa x
  \draw (\x,0.98)--(\x,0.96);
  \node[scale=0.7] at (\x,0.93) {$\x$};
}
\foreach \x/\y in {1.0/{1{,}0},1.1/{1{,}1},1.2/{1{,}2},1.3/{1{,}3},1.4/{1{,}4}} {
  % osa y
  \draw (-0.20,\x)--(-0.5,\x);
  \node[anchor=east,scale=0.7] at (-0.3,\x) {$\y$};
}
%\draw plot [samples=100] (\x,{abs(sin(deg(\x)))+1});
\datavisualization [xy Cartesian, visualize as smooth line]
  data [format=function] {
  var x : interval [0:2*pi] samples 300;
  func y = (abs(sin(\value x*2 r)))/(1+sqrt(2))+1;
  };
\end{tikzpicture}
%
\hfill
% 3. v pořadí
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw (-2.2,-2.2) rectangle (2.2,2.2);
\draw [draw=none,fill=lightgray] (0,0) circle (1);
\draw (1,-2) -- (1,2);
\draw[densely dotted, black] (0,0)--(1,0);
\draw[densely dotted, red] (0,0)--(0.707,0.707); %(1,0.5);
%\draw[densely dotted, blue] (0,0)--(1,1);
%
%\draw[blue] (0,2)--(2,0);
\draw[red] (-0.596,2)--(2,-0.596);
%
\foreach \x in {-2,...,2} {
  % osa x
  \draw (\x,-2.20)--(\x,-2.4);
  \node[scale=0.7] at (\x,-2.75) {$\x$};
  % osa y
  \draw (-2.20,\x)--(-2.35,\x);
  \node[anchor=east,scale=0.7] at (-2.3,\x) {$\x$};
}
\end{tikzpicture}
%
\hfill
% 4. v pořadí
\begin{tikzpicture}
  [xscale=0.35, yscale=2.48]
  [domain=0:6.3]
\draw (-0.2,0.55) rectangle (6.45,1.45);
%
\foreach \x in {0,...,6} {
  % osa x
  \draw (\x,0.55)--(\x,0.50);
  \node[scale=0.7] at (\x,0.44) {$\x$};
}
\foreach \x/\y in {0.6/{0{,}6},0.8/{0{,}8},1.0/{1{,}0},1.2/{1{,}2},1.4/{1{,}4}} {
  % osa y
  \draw (-0.20,\x)--(-0.5,\x);
  \node[anchor=east,scale=0.7] at (-0.3,\x) {$\y$};
}
\draw (0,1)--(6.28,1);
\end{tikzpicture}
%
\caption{Ukázka opěrné funkce pro čtverec s~těžištěm v~počátku, tedy pro centrovaný geometrický objekt s~rovnými hranicemi (levé dva obrázky), a~pro kruh se středem v~počátku, tedy pro centrovaný geometrický objekt se~zaoblenými hranicemi (pravé dva obrázky).}
\label{fig:support}
\end{figure}


 \begin{theorem}[Lavie \cite{lavie:2000}]
 Dvě náhodné konvexní kompaktní množiny jsou stejně rozdělené právě tehdy, jsou-li stejná všechna konečně-dimenzionální rozdělení jejich opěrných funkcí.
\end{theorem}

Nakonec definujeme speciální mozaiku tvořenou průnikem Voronoiovy mozaiky \cite{chiu:2013} a~sjednocení kruhů se středy v~bodech generujících tuto mozaiku.

\begin{definition}
Mějme $\{b_1,\ldots,b_n\}$ konečnou konfiguraci kruhů se středy $\{x_1,\allowbreak x_2,\ldots,x_n\}$ a~stejnými poloměry.
Označme
$$
    B_i=\{ y\in b_i : \|y-x_i\|\le\|y-x_j \| \mbox{ pro všechna $j\neq i$}\}.
$$
Systém množin $B_i$ se nazývá Voronoiova mozaika na sjednocení kruhů $\textstyle\bigcup_{i=1}^n b_i$.
\end{definition}

\begin{remark}
Buňky $B_i$ jsou množiny bodů z~kruhu $b_i$, které jsou blíže středu kruhu $b_i$ než středu jakéhokoliv jiného kruhu, tedy se jedná o~konvexní kompaktní množiny, a~tudíž je Voronoiova mozaika sjednocením konvexních kompaktních množin pokrývajícím celé sjednocení kruhů $\textstyle\bigcup_{i=1}^n b_i$.
\end{remark}


\subsection{Morfologický skelet množiny}
\label{sec:skeleton}

Mějme $X \subseteq \mathbb R^2$, $A\subset \mathbb R^2$ obsahující počátek, označme $\malcheck{A}=\{-a:a\in A\}$ % the symmetric set to $A$ with respect to the origin.
a~$X_a=\{x+a;\ x\in X\}$.

%\smallskip

\begin{definition}
Dilatace, eroze, otevření a~zavření množiny $X$ kompaktním prvkem (množinou) $A$ jsou definovány dle \cite{serra:1982} následovně:
\begin{align*}
D_A(X)&=X\oplus A=\{z \in \mathbb R^2:\malcheck{A}_z \cap X\neq\emptyset\}=\textstyle \bigcup_{a\in A}X_{a},\\
E_A(X)&=X\ominus \malcheck{A}=\{z \in \mathbb R^2 :A_z\subseteq X\}=\textstyle \bigcap_{a\in A}X_{-a},\\
O_A(X)&=D_A(E_A(X))=(X\ominus \malcheck{A})\oplus A,\\
C_A(X)&=E_A(D_A(X))=(X\oplus A)\ominus \malcheck{A}.
\end{align*}
\label{def:DEOC}
\end{definition}

\vskip-1.5\baselineskip

\enlargethispage{0.5\baselineskip}

Dilataci si můžeme představit jako zvětšení, jakoby ,,nafouknutí“, množi\-ny~$X$ (pokud je kompaktním prvkem $A$ kruh o~poloměru $r$, což je v~aplikacích nejčastější případ, jedná se o~zvětšení množiny $X$ o~pás šířky $r$).
Eroze je naopak zmenšení množiny $X$.
Otevření si můžeme představit jako proces, kdy množinu nejprve zmenšíme, čímž odstraníme tenké výčnělky, a~poté množinu zase zvětšíme.
Při operaci zavření množiny naopak nejprve množinu zvětšíme, čímž uzavřeme úzká místa, a~poté ji zase zmenšíme.
Ukázku těchto operací vidíme na obr.~\ref{fig:DEOC}.

\begin{figure}[!htb]
\centerline{(a) \hspace{0.7cm} (b) \hspace{1cm} (c) \hspace{1.7cm} (d) \hspace{1.5cm} (e) \hspace{1.5cm} (f)}
\centerline{\includegraphics[height=2.7cm]{dilatace.pdf}
\hfill
\includegraphics[height=2.7cm]{erose.pdf}
\hspace{0.05cm}
\includegraphics[height=2.7cm]{otevirani.pdf}
\hspace{0.05cm}
\includegraphics[height=2.7cm]{zavirani.pdf}}
\caption{Ukázka morfologických operací z~def. \ref{def:DEOC}: (a) množina $X$, (b) kompaktní prvek $A$, (c) dilatace, (d) eroze, (e) otevření  a~(f) zavření množiny~$X$ prvkem $A$.}
\label{fig:DEOC}
\end{figure}

%\smallskip

\begin{definition}
Kruh $rB_x$ se středem v~bodě $x$ a~poloměrem $r$ se nazývá maximalní vzhledem k~množině $X$, pokud neexistuje žádný jiný kruh $B'$ obsažený celým povrchem v~$X$ a~obsahující $rB_x$, tj.
$$
rB_x\subseteq B'\subseteq X \Rightarrow rB_x = B'.
$$
\end{definition}

\begin{definition}
Nechť $I_X^{\malmax}$ je množina maximálních kruhů vzhledem k~$X$. Morfologický skelet (nebo také kostra; dále jen skelet) $SK(X)$ množiny $X$ je definován jako množina všech středů maximálních kruhů, tj.
$$SK(X) = \{x;\ rB_x \in I_X^{\malmax},\ r>0\}.$$
\end{definition}

Pro $r>0$ označme $S_r(X) = \{x \in SK(X): rB_x \in I_X^{\malmax}\}$ $r$-tou skeletovou podmnožinu. Je zřejmé, že pak platí
$$SK(X)=\bigcup_{r>0}S_r(X).$$

Nyní uvažujme $X$ coby binární obrázek. 
Kruh $rB$ je nahrazen diskrétní aproximací kruhu $nB$ s~poloměrem $n\in\mathbb N$ s~využitím manhattanské vzdálenosti, tj.
$nB = \{(x,y)\in \mathbb{Z}^2;\ |x|+|y|\leq n\}$. 
Najděme $N\in\mathbb N$ takové, že eroze $E_{NB}(X) \neq \emptyset$ a~$E_{(N+1)B}(X) = \emptyset$.
Skelet $SK(X)$ je pak definován jako
$$SK(X)=\bigcup_{n=0}^N S_n(X),$$
kde $S_n(X)=E_{nB}(X)\backslash O_B(E_{nB}(X))$ je analogie $n$-té skeletové podmnožiny v~diskrétním případě.


Algoritmus pro konstrukci skeletu je tedy následující \cite{maragos:1986}:
\begin{enumerate}
\item $n:= 0$, $E_1:= X$,
\item $E_2:= E_1 \ominus B$,
\item jestliže $E_2 = \emptyset$, pak $N:=n$, $S_n(X):= E_1$ a~STOP,
\item $O:=E_2 \oplus B$,
\item $S_n(X):= E_1 \backslash O$,
\item $n:= n+1$, $E_1:= E_2$ a~běž zpět na bod 2.
\end{enumerate} 

Na obr.~\ref{fig:star} je ukázka binárního obrázku, jeho skeletu a~rekonstrukce původního obrázku pomocí skeletu a~příslušných maximálních kruhů, tj. sjednocení všech maximálních kruhů.
Poznamenejme, že pro lepší vizualizaci jsme při zobrazení rekonstrukce použili k~vykreslení hranic maximálních kruhů jejich spojitou verzi, tj. $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2;\ |x|+|y| = n\}$.

\begin{figure}[!ht]
%\centerline{\includegraphics[width=\textwidth]{fig_skel_star.png}}
% new
\def\bobr#1{%
\begin{tikzpicture}
\node at (1.5,1.5) {\includegraphics[width=3cm,height=3cm]{fig_skel_star-#1.png}};
\draw (0,0) rectangle (3,3);
\foreach \x in {0,20,...,100} {
  % osa x 
  \draw (\x/100*3,0)--(\x/100*3,-0.1);
  \node[scale=0.7] at (\x/100*3,-0.25) {\x};
  % osa y 
  \draw (0,\x/100*3)--(-0.1,\x/100*3);
  \node[anchor=east, scale=0.7] at (-0.05,\x/100*3) {\x};
}
\end{tikzpicture}}
\bobr1\hfill\bobr2\hfill\bobr3%
\caption{Ukázka binárního obrázku množiny (vlevo), jejího skeletu (uprostřed) a~rekonstrukce původní množiny pomocí skeletu a~příslušných maximálních kruhů, tj. sjednocení všech maximálních kruhů (vpravo; pro lepší vizualizaci zobrazeny pouze hranice těchto kruhů).}
\label{fig:star}
\end{figure}



\subsection{Testování shody rozdělení náhodných funkcí}

\subsubsection{Obálkový test}

Jako první test shody rozdělení náhodných funkcí jsme použili tzv. obálkový test z~\cite{myllymaki:2017} (lze jej nalézt také v~českém jazyce \cite{mrkvicka:2017}), který funguje následovně.

Mějme $s+1$ zaměnitelných (exchangeable) náhodných objektů, které jsou popsány funkcionálními charakteristikami $T_i(u)$, $i=1,...,s+1$, $u \in I$ ($I$ je indexová množina). 
Víme, že $T_2(u),\ldots,T_{s+1}(u)$ pocházejí ze stejného rozdělení, a~chceme testovat, zda $T_1(u)$ pochází z~téhož rozdělení.
Pro každé $u \in I$ označme $R_i^{\uparrow}(u)$, resp. $R_i^{\downarrow}(u)$, %, \ i=1,\ldots,s+1,$
pořadí příslušné hodnoty $T_i(u)$ %, \ i=1,\ldots,s+1,$ 
od nejmen\-šího (pořadí $1$) do největšího (pořadí $s+1$), resp. od největšího (pořadí $1$) do nejmenšího (pořadí $s+1$).
Pro každé $u \in I,$ pak definujme $u$-tou hloubku charakteristiky $T_i(u)$ jako
$
R_i(u)=\min\left(R_i^{\uparrow}(u),R_i^{\downarrow}(u) \right).$

V~praxi obvykle pozorujeme $T_i(u)$ na diskrétní indexové množině $I = \{u_1,\ldots,u_n\}$, tj. $T_i(u) = (T_i(u_1),\ldots, T_i(u_n)).$ 
Označme 
$\maltilde s=\left\lfloor (s+2)/2\right\rfloor$,   
  $  \mathbf{N}_i=\left(N_{i1},\ldots N_{i\maltilde s} \right),$ kde $N_{ik}=\sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}(R_i(u_j)=k), $
a~definujme
\begin{equation*}
  \mathbf{N}_i \prec \mathbf{N}_j \Longleftrightarrow \exists m \leq \maltilde s\ \forall k<m: N_{ik}=N_{jk}\ \& \ N_{im}>N_{jm}.
\end{equation*}
Pak $p$-hodnota testu je
\begin{equation*}
    p = \frac{1}{s+1}\left( 1+ \sum_{i=1}^{s+1} \mathbf{1}(\mathbf{N}_i\prec \mathbf{N}_1)\right).
%\label{eq:pval1}
\end{equation*}

Ukázku výpočtu $R_i(u)$ a~$\mathbf{N}_i$ lze vidět na obr.~\ref{fig:envelope}.

\begin{figure}[!htb]
%\centerline{\includegraphics[height=2.5cm]{env_expl.pdf}
%\includegraphics[height=2.2cm]{env_expl_text.pdf}}

\tikzset{popis/.style={anchor=east,scale=0.7}, p/.style={circle,minimum width=.8mm,fill,draw=black,thin, inner sep=0pt, outer sep=0pt}, r/.style={fill=white}}

\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.4, semithick]
\draw (0.4,-0.2) rectangle (4.2,5.8);
\foreach \x in {1,2,3,4} {
  % osa x 
  \draw (\x,-0.2)--(\x,-0.6);
  \node[scale=0.7] at (\x,-1.1) {\x};
  }
\foreach \x in {0,1,2,3,4,5} {
  % osa y 
  \draw (0.4,\x)--(0.3,\x);
  \node[anchor=east, scale=0.7] at (0.3,\x) {\x};
}
\draw[black] (1,5) node[popis]{$T_1$} node[p,r]{} --(2,3.5) node[p,r]{} --(3,5.5) node[p,r]{} --(4,4.5) node[p,r]{} ;
\draw[red] (1,4) node[popis]{$T_2$} node[p]{} --(2,4.5)node[p]{} --(3,2)node[p]{} --(4,1)node[p]{} ;
\draw[green] (1,3) node[popis]{$T_3$} node[p]{} --(2,3.5)node[p]{} --(3,3.5)node[p]{} --(4,4.1)node[p]{} ;
\draw[blue] (1,2) node[popis]{$T_4$} node[p]{} --(2,1.5)node[p]{} --(3,3)node[p]{} --(4,3)node[p]{} ;
\draw[magenta] (1,1) node[popis]{$T_5$} node[p]{} --(2,0.5)node[p]{} --(3,0.5)node[p]{} --(4,1)node[p]{} ;
\node[scale=0.7] at (2.5,-1.8) {$u$};
\end{tikzpicture}
\hfill
\raisebox{15.7mm}{%
\scalebox{0.8}{%
\renewcommand{\tabcolsep}{1.1ex}%
\begin{tabular}{lllll @{}}
$R_1(1)=1$& $R_2(1)=2$& $R_3(1)=3$& $R_4(1)=2$& $R_5(1)=1$ \\
$R_1(2)=2$& $R_2(2)=1$& $R_3(2)=2$& $R_4(2)=2$& $R_5(2)=1$ \\
$R_1(3)=1$& $R_2(3)=2$& $R_3(3)=2$& $R_4(3)=3$& $R_5(3)=1$ \\
$R_1(4)=1$& $R_2(4)=1$& $R_3(4)=2$& $R_4(4)=3$& $R_5(4)=1$ \\[2ex]
\multicolumn{5}{c}{$\mathbf{N}_1=(3,1,0),\ 
\mathbf{N}_2=(2,2,0),\
\mathbf{N}_3=(0,3,1),\
$} \\
\multicolumn{5}{c}{$\mathbf{N}_4=(0,2,2),\
\mathbf{N}_5=(4,0,0)$
} \\[2ex]
\multicolumn{5}{c}{$\Rightarrow \mathbf{N}_5 \prec \mathbf{N}_1 \prec \mathbf{N}_2 \prec \mathbf{N}_3 \prec \mathbf{N}_4$}
\end{tabular}}}
\caption{Ukázka výpočtu $R_i(u)$ a~$\mathbf{N}_i$ v~obálkovém testu.}
\label{fig:envelope}
\end{figure}

Jelikož v~našem případě budeme chtít testovat shodu rozdělení dvou náhodných funkcí $t^{(1)}$ a~$t^{(2)}$, použijeme permutační verzi testu, která funguje následovně.
Máme dva vzorky funkcí, konkrétně $t_1^{(1)}(u),\ldots,t_{m_1}^{(1)}(u)$ získané z~realizace $X$ a~$t_1^{(2)}(u),\ldots,t_{m_2}^{(2)}(u)$ získané z~realizace $Y$.
Testovací charakteristika je daná normovaným rozdílem jejich průměrů, tj.
$$T_1(u) =  \frac{\bar{t}^{(1)}(u)\ -\  \bar{t}^{(2)}(u)}{\sqrt{\mathrm{var}\ {t}^{(1)}(u)\ +\ \mathrm{var}\ {t}^{(2)}(u)}}.$$
Dále použijeme permutační Monte Carlo test, viz \cite{davison:1997}, tj. vezmeme všechny funkce $t_1^{(1)}(u),\ldots , t_{m_1}^{(1)}(u),$ $t_1^{(2)}(u),\ldots,t_{m_2}^{(2)}(u)$ dohromady a~vytvoříme $s$ jejich náhodných permutací. 
Následně každou permutaci rozdělíme na dvě skupiny o~rozsahu $m_1$ a~$m_2$ funkcí a~analogicky spočteme $T_i(u)$, $i=2,\ldots, s+1$, jako normovaný rozdíl průměrů funkcí z~$i$-té permutace.
Z~hodnot $T_i(u)$ pak spočteme $\mathbf{N}_i$ a~z~nich následně hledanou $p$-hodnotu.
  

\subsubsection{Test založený na $\mathcal{N}$-vzdálenosti}
\label{sec:Ndist}

Druhý test shody rozdělení náhodných funkcí je založen na teorii $\mathcal{N}$-vzdáleností, viz~\cite{klebanov:2006}, kterou stručně uvádíme níže.

Nechť $\mathcal X$ je neprázdná množina.
Uvažujme negativně definitní jádro $\mathcal L: \mathcal X \times \mathcal X \rightarrow \mathbb C$ \cite{klebanov:2006}.

%\smallskip

\begin{definition} 
Negativně definitní jádro $\mathcal L$ se nazývá \emph{silně negativně definitní jádro}, jestliže pro libovolnou pravděpodobnostní míru $\mu$ a~libovolnou funkci $f:\mathcal X \to \mathbb R$ takovou, že $\int_{\mathcal X} f(x) \dd\mu( x)=0$ a~$\int_{\mathcal X} \int_{\mathcal X} \mathcal L(x,y) f(x) f(y) \dd \mu (x) \dd \mu (y)$ existuje a~je konečný, platí, že
$
\int_{\mathcal X} \int_{\mathcal X} \mathcal L(x,y) f(x) f(y) \dd\mu( x) \dd\mu( y) = 0
$
implikuje $f(x)=0$ $\mu$-skoro všude.
\end{definition}

Pro zobrazení $\mathcal L: \mathcal X \times \mathcal X \rightarrow \mathbb C$ označme $B_{\mathcal L}$ množinu všech měr $\mu$ takových, že $\int_{\mathcal X} \int_{\mathcal X} \mathcal L(x,y) \dd\mu (x) \dd\mu (y)$ existuje.

%\smallskip

\begin{theorem}[Klebanov \cite{klebanov:2006}]
Nechť $\mathcal L(x,y) = \mathcal L(y,x)$. Pak
\begin{align}
\label{eq:Ndist}
\mathcal N(\mu,\nu) = 
&\ 2\int_{\mathcal X} \int_{\mathcal X} \mathcal L(x,y) \dd\mu (x) \dd\nu (y)  - \int_{\mathcal X} \int_{\mathcal X} \mathcal L(x,y) \dd\mu (x) \dd\mu (y) \nonumber \\
& -\int_{\mathcal X} \int_{\mathcal X} \mathcal L(x,y) \dd\nu (x) \dd\nu (y)
\geq 0
\end{align}
platí pro všechny míry $\mu, \nu \in \mathcal B_{\mathcal L}$ s~rovností pro $\mu=\nu$ tehdy a~jen tehdy, pokud $\mathcal L$ je silně negativně definitní jádro.
\end{theorem}

Dále v~textu budeme výraz $\mathcal N(\mu,\nu)$ z~\eqref{eq:Ndist} nazývat $\mathcal N$-vzdáleností měr $\mu$ a~$\nu$.
V~\cite{klebanov:2006} můžeme nalézt několik příkladu silně negativně definitního jádra~$\mathcal L$. 
Jelikož se zde zaměřujeme na testování rozdělení náhodných funkcí $t^{(1)}$ a~$t^{(2)}$, použijeme jádro z~\cite{gotovac:2019b} zkonstruované speciálně pro náhodné funkce.
Konkrétně jestliže vyčíslujeme náhodnou funkci $t^{(1)}$, resp. $t^{(2)}$,  v~diskrétních proměnných $I = \{u_1,\ldots,u_n\},$ jádro je 
\begin{equation*}
\mathcal{L}(t^{(1)},t^{(2)})=\sum_{K \in 2^I}\left(\sum_{u_k \in K} \left(t^{(1)}(u_{k})-t^{(2)}(u_{k})\right)^2 \right)^{1/2},
%\mathcal{L}(t^{(1)},t^{(2)})=\sum\limits_{m=1}^{D}\sum\limits_{\left\{k_1,\ldots,k_m\right\} \subseteq \left\{1,\ldots,n\right\} }\left(\sum\limits_{l=1}^m \left(t^{(1)}(u_{k_l})-t^{(2)}(u_{k_l}))\right)^2 \right)^{1/2},
%\label{eq:l_D}
\end{equation*}
kde $2^I$ značí množinu všech podmnožin indexové množiny $I$.

Odhad $\mathcal N$-vzdálenosti (náhodných) funkcí $t^{(1)}$ a~$t^{(2)}$ založený na náhodných výběrech $t_1^{(1)}(u),\ldots , t_{m_1}^{(1)}(u)$ a~$t_1^{(2)}(u),\ldots,t_{m_2}^{(2)}(u)$ je
\begin{align}\malhat{\mathcal{N}_1}= \ &\frac{2}{m_1 m_2}\sum\limits_{i=1}^{m_1}\sum\limits_{j=1}^{m_2}\mathcal{L}(t^{(1)}_i,t^{(2)}_j)
-\frac{1}{m_1^2}\sum\limits_{i=1}^{m_1}\sum\limits_{j=1}^{m_1}\mathcal{L}(t^{(1)}_i,t^{(1)}_j) \nonumber \\
&-\frac{1}{m_2^2}\sum\limits_{i=1}^{m_2}\sum\limits_{j=1}^{m_2}\mathcal{L}(t^{(2)}_i,t^{(2)}_j).
\label{eq:Nest}
\end{align}
Ten pak hraje roli testové statistiky.

Pro testování hypotézy, že dvě skupiny funkcí $t^{(1)}_1 (u), \ldots, t^{(1)}_{m_1} (u)$ 
a~$t^{(2)}_1 (u),
\allowbreak 
t^{(2)}_2 (u),
\ldots, t^{(2)}_{m_2} (u)$ pocházejí ze stejného rozdělení pak opět použijeme Monte Carlo permutační test, tj. vytvoříme $s$ permutací ze všech funkcí $t^{(1)}_1 (u), \ldots, 
\allowbreak
t^{(1)}_{m_1} (u), t^{(2)}_1 (u), \ldots, t^{(2)}_{m_2} (u)$, každý zpermutovaný vzorek rozdělíme do dvou skupin o~délkách $m_1$ a~$m_2$ a~analogicky k~\eqref{eq:Nest} spočteme $\malhat{\mathcal{N}}_i$ pro $i$-tou permutaci, $i = 2,\ldots,s+1$.
Pak $p$-hodnota testu je
\begin{equation*}
p=\frac{\#\{i \in \{2,\ldots,s+1\}:  \malhat{\mathcal{N}_i} \geq \malhat{\mathcal{N}_1}\} +1}{s+1}.
%\label{eq:pval2}
\end{equation*}

\section{Metody rozlišování realizací náhodných množin}
\label{sec:methods}

Společným cílem metod, které níže uvádíme, je rozhodnutí, zda dvě realizace $X$ a~$Y$ náhodných množin $\mathbf X$, resp. $\mathbf Y$, jsou si podobné ve smyslu daném pro každou metodu zvlášť.
Metody jsou založené na získání skupin funkcí pro kaž\-dou z~realizací $X$ a~$Y$ popisující specifické rysy daných realizací a~následném testování shody pravděpodobnostních rozdělení těchto funkcí pomocí obálkového testu a~testu založeném na $\mathcal N$-vzdálenosti. 
Realizace pak považujeme za podobné, pokud test shodu nezamítá, a~nepodobné (rozlišené), pokud je shoda zamítnuta.

\enlargethispage{0.5\baselineskip}

Popisované procedury jsou ilustrovány na simulační studii zahrnující tři modely. 
Prvním je boolský proces, tedy sjednocení náhodných geometrických objektů, jejichž tvary i~polohy jsou vzájemně nezávislé (v~našem případě se jedná o~sjednocení náhodného počtu kruhů s~náhodnými poloměry), druhým modelem je shlukový proces a~třetím pak proces odpuzujících se komponent, viz \cite{gotovac:2016} pro detaily o~parametrech daných modelů a~\cite{moeller:2008} pro detaily o~jejich simulacích. 
Realizace těchto modelů jsou zobrazené na obr.~\ref{fig:models}.
\temphere=3.7cm
\newdimen\temphereh \temphereh=3.7cm
\begin{figure}[!h]
\centerline{%
\fbox{\includegraphics[width=\temphere, height=\temphereh]{fig_modelB.png}}
%\hspace{0.5cm}
\hfill
\fbox{\includegraphics[width=\temphere, height=\temphereh]{fig_modelC.png}}
%\hspace{0.5cm}
\hfill
\fbox{\includegraphics[width=\temphere, height=\temphereh]{fig_modelR.png}}%
}
\caption{Ukázka realizací boolského modelu (vlevo), shlukového modelu (uprostřed) a~modelu odpuzujících se komponent (vpravo), které byly použité pro simulační studii.}
\label{fig:models}
\end{figure}

Ve studii uvažujeme 200 simulovaných realizací každého modelu v~rozlišení $400 \times 400$ pixelů, které dále hrají roli jednotek v~popisovaných procedurách, a~srovnáváme vždy 100 a~100 realizací nejprve stejných a~poté různých modelů, tj. máme šest párů modelů ke srovnání. Jelikož výstupy metod jsou $p$-hodnoty, získáváme tak pro každý srovnávaný pár 100 $p$-hodnot. 
Ty jsou zobrazeny formou histogramů.
%, viz obr.~\ref{fig:hist}.
Poznamenejme, že $p$-hodnoty blízké nule znamenají, že shoda pravděpodobnostních rozdělení příslušných testovacích funkcí je zamítnuta, tudíž realizace považujeme za rozdílné. Proto v~simulační studii očekáváme $p$-hodnoty koncentrované blízko nuly, pokud srovnáváme realizace z~různých procesů, zatímco pro realizace stejných procesů by $p$-hodnoty měly být rovnoměrně rozložené na intervalu $[0,1]$.


\subsection{Aproximace sjednocením konvexních\\ kompaktních množin}

Myšlenka této metody, která je detailně popsaná v~\cite{gotovac:2019b} a~\cite{gotovac:2016}, spočívá v~aproximaci realizací $X$ a~$Y$ sjednoceními konvexních kompaktních množin, vyčíslení jejich opěrných funkcí a~náhodném výběru těchto funkcí, které pak hrají roli testovacích funkcí $t^{(1)}$ a~$t^{(2)}$. 
Realizace pak považujeme za podobné, pocházejí-li $t^{(1)}$ a~$t^{(2)}$ ze stejného rozdělení, což je hypotéza, kterou zde testujeme.

Aproximace realizací funguje následovně:
\begin{enumerate}
\itemsep=0pt
\item Zvolíme hodnotu $r$ a~pokryjeme realizaci kruhy o~poloměru $r$ použitím Poissonova disc-sampling algoritmu, viz \cite{ebeida:2011}, tj.
\begin{enumerate}
\itemsep=0pt
\item vybereme náhodně bod $x_1$ rovnoměrně uvnitř realizace a~zkonstruujeme kruh $b_1(x_1,r)$,
\item vybereme náhodně bod $x_2$ rovnoměrně uvnitř realizace, avšak mimo kruh $b_1$, a~zkonstruujeme kruh $b_2(x_2,r)$,
\item pokračujeme tímto způsobem, dokud není pokrytá celá realizace,
\end{enumerate}
\item zkonstruujeme Voronoiovu mozaiku na $\textstyle\bigcup b_i$. %the union of the discs.
\end{enumerate}

Je zřejmé, že plocha takto vytvořené aproximace je větší než plocha původní realizace, proto zavádíme dvě korekce v~kroku 1., a~to:
\begin{itemize}
\itemsep=0pt
\item[(i)] provedeme erozi realizace kruhem o~poloměru $r$,
\item[(ii)] způsobem popsaným výše pokrýváme dilatovanou realizaci, přičemž nejprve vybíráme středy pokrývajících kruhů mezi hraničními pixely a~až poté, co je pokrytá celá hranice, pokrýváme náhodně vnitřek,
\end{itemize}
což je graficky ilustrováno na obr.~\ref{fig:voronoi} i~s~následnou konstrukcí Voronoiovy mozaiky.

\temphere=35mm
\temphereh=20mm
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\noindent
(a) \hspace{1.65\temphereh} (b) \hspace{1.65\temphereh} (c) \\ %\hspace{1.65cm} \\

\noindent
\fbox{\includegraphics[width=\temphere]{fig_voronoi1.png}}
%\hspace{0.05cm}
\hfill
\fbox{\includegraphics[width=\temphere]{fig_voronoi2.png}}
%\hspace{0.05cm}
\hfill
\fbox{\includegraphics[width=\temphere]{fig_voronoi3.png}}%
%\hspace{0.05cm}
\smallskip

\noindent
(d) \hspace{1.75\temphereh} (e)

\noindent
\fbox{\includegraphics[width=\temphere]{fig_voronoi4.png}}
\hspace{4mm}
\fbox{\includegraphics[width=\temphere]{fig_voronoi5.png}}
\end{center}
\caption{Pokrývání realizace sjednocením kruhů se stejnými poloměry a~následná konstrukce Voronoiovy mozaiky: aproximovaná realizace (a), její eroze (b), pokrývání hranice realizace po erozi (c), pokrývání vnitřku (d) a~odpovídající Voronoiova mozaika (e).}
\label{fig:voronoi}
\end{figure}

Poissonův disc-sampling algoritmus s~následnou konstrukcí Voroniovy mozaiky jsme zvolili hlavně pro jeho jednoduchou interpretaci: v~případě shlukových procesů má mozaika více vnitřních (tj. mnohoúhelníkových) než vnějších (tj. částečně zaoblených) buněk, zatímco dlouhé tenké komponenty mají naopak více vnějších a~méně vnitřních buněk, což je právě rozdíl dobře podchytitelný opěrnými funkcemi, neboť zaobleným částem buněk odpovídají v~opěrných funkcích konstantní úseky (v~hodnotě poloměru příslušného kruhu), viz levá část obr.~\ref{fig:support} na str.~\pageref{fig:support}, zatímco opěrné funkce mnohoúhelníkových buněk vytvářejí v~grafech ,,kopečkovité"{} úseky, viz pravá část obr.~\ref{fig:support} na str.~\pageref{fig:support}.
Avšak nejen to. I~realizace složené z~více menších spíše okrouhlých komponent, resp. z~dlouhých tenkých komponent, které obě mají více vnějších buněk, jsou rozeznatelné, neboť zaoblené části v~prvním případě jsou delší než v~případě druhém, což je opět rozlišeno příslušnými opěrnými funkcemi.

Problémem však je volba optimálního poloměru pro pokrývací kruhy.
Ten totiž nesmí být ani moc malý, neboť příslušná Voronoiova  mozaika by měla příliš mnoho vnitřních buněk a~ty jsou stejně rozdělené, tudíž nenesou informaci o~tvaru komponent, avšak nesmí být ani moc velký, abychom při aproximaci zachovali tvar původní realizace a~také abychom měli dostatečný vzorek buněk pro testování.
Několik (spíše heuristických) doporučení lze nalézt v~\cite{gotovac:2016}.

Další slabinou této procedury je fakt, že dvě buňky Voronoiovy mozaiky mající stejný tvar, ale jinou orientaci, mají různé opěrné funkce.
Proto v~\cite{gotovac:2016} autoři navrhují jisté přerovnání opěrných funkcí, což sice metodu činí efektivnější, ale i~přesto dochází k~významné ztrátě informace.

%Poslední skutečností, která pak činí metodu nejednoznačnou, 
Nevýhodou této metody je také náhodnost pokrývání, která s~sebou rovněž nese jistou míru nepřesnosti.




\subsection{Srovnání skeletů a~příslušných maximálních kruhů}

Ve druhé proceduře, studované detailněji v~\cite{debayle:2020}, definujeme podobnost realizací náhodných množin pomocí funkce popisující přírustky objemu kolem bodů skeletů daných realizací.

Mějme realizaci $X$ stacionární náhodné množiny ve formě binárního obrázku a~její skelet $SK(X)$. 
Pro každý bod $x_i\in SK(X)$ označme $r_i$ poloměr příslušného maximálního kruhu. Poznamenejme však, že dle algoritmus v~kapitole~\ref{sec:skeleton}, jeden izolovaný pixel představuje kruh s~nulovým poloměrem, avšak pro definici testovací funkce \eqref{eq:tf} (viz níže), je důležité, aby i~jeden pixel představoval kruh s~kladným poloměrem. Proto pro další účely stavovíme, že každému bodu $x_i\in S_n(X)$ připadá poloměr odpovídajícího maximálního kruhu $r_i=n+1$. 
Testovací funkci v~bodě $x_i$ pak definujeme jako
\begin{equation}
\label{eq:tf}
t_i ( u~) = \sum_{j \neq i} r_j \mathbf{1}_{||x_i-x_j||<u}, \quad u=1,2, \ldots,U_{\malmax}, \quad U_{\malmax} \in \mathbb N.
\end{equation}
Interpretace je taková, že výraz $r_j \cdot 1$ z~\eqref{eq:tf} je přírustek plochy přidáním \mbox{$j$-tého} kruhu do celkové plochy množiny $X$ kolem bodu $x_i$, neboť je to plocha obdélníku $r_j \times 1$ kterým přibližně při seřazení bodů skeletu za sebe $j$-tý maximální kruh do celkové plochy přispívá. 
%Ukázky viz obr.~\ref{fig:tf}.


Bohužel neexistuje obecné pravidlo, jak v~\eqref{eq:tf} stanovit parametr $U_{\malmax}$.
Musí být dostatečně velký, aby testovací funkce podchytily rozprostření masy v~realizaci, ale nesmí být příliš velký, neboť pak dochází k~následující komplikaci.
Testovací funkce $t_i$ a~$t_j$ jsou si podobné, pokud $x_i$ a~$x_j$ jsou si blízko a~$U_{\malmax}$ je příliš velké (neboť mají spoustu maximálních kruhů společných). 
%To může významně ovlivnit výsledky, neboť test vyžaduje exchangebilitu vstupů, což v tomto případě není splněno.
Proto zde zavádíme minimální vzdálenost $D_{\malmin}$ mezi body, které mohou být zahrnuty do náhodného výběru následných testů (tyto body dále nazýváme testovacími body).
Je přitom zřejmé, že volba $D_{\malmin}$ je úzce spjatá s~volbou $U_{\malmax}$, neboť obě tyto hodnoty dohromady ovlivňují, jak moc se maximální kruhy přispívající do hodnot testovacích funkcí překrývají, tj. jak moc jsou závislé. 
Pro dané $U_{\malmax}$ by přirozenou volbou $D_{\malmin}$ bylo $D_{\malmin}=2U_{\malmax}$, neboť v~takovém případě je každá dvojice $(x,r)$ zahrnutá pouze v~jedné testovací funkci $t_i$.
Avšak to si nemůžeme dovolit, pokud obrázek není dostatečně velký.
Širší diskusi na toto téma lze nalézt v~\cite{debayle:2020}.

Stručně řečeno, doporučuje se nejprve vykreslit pro každou realizaci několik testovacích funkcí na delším definičním oboru a~na základě grafů rozhodnout, jaký interval pro $u$ je dostatečný k~podchycení rysů dané realizace, např. na obr.~\ref{fig:tf} pozorujeme od hodnoty $u=10$ dále hustší shluky funkcí pro proces odpuzujících se komponent než pro jiné procesy, nebo mnohem větší funkční hodnoty od $u=5$ pro shlukový proces než pro ostatní procesy. 

\begin{figure}[!ht]
%\centerline{\includegraphics[width=\textwidth, height=3cm]{fig_skel_test_ftions.png}}
\def\malx{3.1}
\def\maly{2.2}
\def\bobr#1{%
\begin{tikzpicture}
\node at (\malx/2,\maly/2) {\includegraphics[width=\malx cm,height=\maly cm]{fig_skel_test_ftions-#1.png}};
\draw (0,0) rectangle (\malx,\maly);
\foreach \x in {0,5,10,15} {
  % osa x 
  \draw (\x/19*\malx+.1,0)--(\x/19*\malx+.1,-0.1);
  \node[scale=0.7] at (\x/19*\malx+.1,-0.25) {\x};
}
  % osa y 
\ifnum#1=1
\foreach \x in {0,200,400,600,800} {
  \draw (0,\x/950*\maly+.1)--(-0.1,\x/950*\maly+.1);
  \node[anchor=east, scale=0.7] at (-0.05,\x/950*\maly+.1) {\x};
}\else
\ifnum#1=2
\foreach \x in {0,500,1000,1500} {
  \draw (0,\x/1800*\maly+.1)--(-0.1,\x/1800*\maly+.1);
  \node[anchor=east, scale=0.7] at (-0.05,\x/1800*\maly+.1) {\x};
}\else
\foreach \x in {0,100,...,700} {
  \draw (0,\x/750*\maly+.1)--(-0.1,\x/750*\maly+.1);
  \node[anchor=east, scale=0.7] at (-0.05,\x/750*\maly+.1) {\x};
}\fi\fi
\end{tikzpicture}}
\bobr1\hfill\bobr2\hfill\bobr3%

\caption{Ukázka testovacích funkcí z~jedné realizace boolského procesu (vlevo), shlukového procesu (uprostřed) a~procesu s~odpuzujícími se komponentami (vpravo) použitých při rozlišování metodou srovnávání skeletů a~příslušných maximálních kruhů.}
\label{fig:tf}
\end{figure}

Chceme-li tedy porovnávat dvě realizace, podíváme se, zda a~od jaké hodnoty $u$ se začínají jejich testovací funkce vizuálně lišit. 
Jestliže se ani pro velká $u$ (velká vzhledem k~velikosti obrázku) funkce neliší, vezmeme $U_{\malmax}$ co největší tak, abychom v~souladu s~$D_{\malmin}$ měli na vstupu alespoň pár desítek testovacích bodů.
Pokud se od nějaké hodnoty $u$ lišit začínají, hodnotu $U_{\malmax}$ stanovíme tak, aby $U_{\malmax}>u$, ale abychom zároveň v~souladu s~$D_{\malmin}$ i~zde měli na vstupu dostatek testovacích bodů. 
%Je-li obrázek dostatečně velký, můžeme při zachování těchto podmínek provést porovnání pro více dvojic parametrů $(D_{\malmin}, U_{\malmax})$ a zjistit, zda se výstupy testů shody rozdělení testovacích funkcí výrazně liší. 
Pokud %ano, není tato metoda k porovnávání daných realizací vhodná, stejně tak jako v případě, kdy 
nelze stanovit $(D_{\malmin}, U_{\malmax})$ splňující uvedené podmínky, není tato metoda k~porovnávání daných realizací vhodná.

Poté, co určíme výše zmíněné parametry, porovnáme realizace $X$ a~$Y$ tak, že náhodně vybereme testovací body, vyčíslíme příslušné testovací funkce $t_1^{(1)} ( u ), \ldots, t_{m_1}^{(1)} ( u )$ a~$t_1^{(2)} ( u ), \ldots, t_{m_2}^{(2)} ( u )$,
a~stejně jako v~předešlé metodě aplikujeme obálkový test a~test založený na $\mathcal{N}$-vzdálenosti k~otestování hypotézy, že skupiny funkcí $t_1^{(1)} ( u ), \ldots, t_{m_1}^{(1)} ( u )$ a~$t_1^{(2)} ( u ), \ldots, t_{m_2}^{(2)} ( u )$ pocházejí ze stejného rozdělení.

Když pomineme komplikace ohledně volby $U_{\malmax}$ a~$D_{\malmin}$, má tato metoda spoustu výhod.
Za prvé je ve srovnání s~předešlou metodou až na náhodný výběr testovacích bodů deterministická a~jednoznačná, tj. nedochází k~náhodné aproximaci a~rekonstrukce realizace z~jejího skeletu je zcela shodná s~původní realizací.
Za druhé, testovací funkce popisuje přírustek plochy v~okolí příslušného testovacího bodu ve všech směrech, takže nedochází ke ztrátě informace vlivem rotací, což vede k~větší přesnosti v~případě hledání nepodobností.
A~vskutku, jak ukazuje simulační studie, nám tato metoda dává nejlepší výsledky při rozlišování na pohled podobných realizací, které však pocházejí z~různých modelů (jmenovitě z~booleského procesu a~procesu odpuzujících se komponent).
%, viz tab.~\ref{tab:percent}.



\subsection{Srovnání komponent a~jejich sousedství}

Ve třetí metodě, uvedené v~publikaci~\cite{gotovac:2019a}, uvažujme realizace $X$ a~$Y$ složené z~komponent $C_i,\ i \in J$ (indexová množina). 
Obvykle uvažujeme $C_i$ coby spojité komponenty, ale ve specifických případech můžeme použít i~jiné dělení (např. pokud jsou komponenty složené z~biologických buněk, které lze ve vstupním binárním obrázku identifikovat, můžeme jako $C_i$ označit tyto jednotlivé buňky).
Pro každou $C_i$ definujeme její $i$-té sousedství $N_i$ jako oblast obsahující celou $C_i$ a~k~tomu všechny body pozorovacího okna, které jsou blíž $C_i$ než jakékoliv jiné $C_j,\ j \in J \setminus \{i\}$ ve smyslu Hausdorffovy metriky, tj.
$N_i=\{ y\in W: d_H(\{y\},C_i)\leq d_H(\{y\},C_j) \mbox{ pro všechna $i\neq j$}\}.$

Hlavní myšlenkou je srovnat v~realizacích $X$ a~$Y$, které uvažujeme coby binární obrázky, tedy matice jedniček a~nul (odpovídajících pixelům množin, resp. jejich doplňků), symetrické diference jednotlivých komponent
$
C_1 \Delta C_2:=\{ x: x\in C_1, x\notin C_2 \text{ \ nebo  \ }  x\notin C_1, x\in C_2 \},
$
kde $C_1$ a~$C_2$ jsou vycentrovány ve svých těžištích, resp. symetrické diference jednotlivých sousedství $N_1 \Delta N_2$ pro $N_1$ a~$N_2$ vycentrované do těžišť $C_1$, resp. $C_2$, jejichž plochy jsou $||C_1-C_2||_F$, resp. $||N_1-N_2||_F$.
Srovnáváme přitom každou komponentu z~realizace $X$ s~každou komponentou z~realizace $Y$.
Jelikož funkce
$$\mathcal L_{C}(C_1,C_2)=||C_1-C_2||_F,\quad \mathcal L_{N}(N_1,N_2)=||N_1-N_2||_F,$$
$$\mathcal L_{CN} ((C_1,N_1),(C_2,N_2))%=\sqrt{\mu(C_1 \Delta C_2)+\mu(N_1 \Delta N_2)}\\ \nonumber
=\sqrt{||C_1-C_2||_F^2+||N_1-N_2||_F^2}$$
tvoří silně negativně definitní jádra, aplikujeme test založený na $\mathcal N$-vzdálenos\-tech na tato jádra místo $\mathcal L(t^{(1)},t^{(2)})$ a~dle \eqref{eq:Nest} z~nich spočteme $\malhat {\mathcal N_1}$ a~$\malhat {\mathcal N_i}$, $i=2,\ldots,s$. 
To znamená, že v~tomto případě hrají komponenty $C_i$ a~sousedství $N_i$ role testovacích funkcí z~předešlých kapitol.
Označíme-li $C_1^{(1)}, \ldots, C_{m_1}^{(1)}$ a~$C_1^{(2)}, \ldots, C_{m_2}^{(2)}$ náhodný výběr komponent z~realizací $X$, resp. $Y$, a~$N_1^{(1)}, \ldots,
\allowbreak 
N_{m_1}^{(1)}$ a~$N_1^{(2)}, \ldots, N_{m_2}^{(2)}$ jejich příslušná okolí, pak zde uvažujeme tři verze
nulové hypotézy, a~to za prvé tvrzení, že $C_1^{(1)} ( u ), \ldots, C_{m_1}^{(1)} ( u )$ a~$C_1^{(2)} ( u ), \ldots,\allowbreak 
C_{m_2}^{(2)} ( u )$ pocházejí ze stejného rozdělení, za druhé tvrzení, že $N_1^{(1)} ( u ), \ldots, 
\allowbreak
N_{m_1}^{(1)} ( u )$ a~$N_1^{(2)} ( u ), \ldots, N_{m_2}^{(2)} ( u )$ pocházejí ze stejného rozdělení, a~za třetí tvrzení, že dvojice $(C_1,N_1)^{(1)} ( u ), \ldots, (C_{m_1},N_{m_1})^{(1)}$ a~$(C_1,N_1)^{(2)}, \ldots, (C_{m_2},
\allowbreak
N_{m_2})^{(2)}$ pocházejí ze stejného rozdělení.

%\enlargethispage{2\baselineskip}

Poznamenejme, že tato metoda je velice citlivá na okrajové efekty, proto zahrnujeme do studie pouze komponenty, které neprotínají hranici pozorovacího okna (znázorněny černou barvou v~obr.~\ref{fig:neighb}, zatímco vynechané komponenty jsou znázorněny tmavě šedou barvou).
Analogicky při porovnávání sousedství uvažujeme pouze ta, která jsou celá obsažena v~pozorovacím okně (znázorněna různými odstíny modré v~obr.~\ref{fig:neighb}).
\temphere=3.7cm
\temphereh=3.7cm
\begin{figure}[!h]
\centerline{%
\fbox{\includegraphics[width=\temphere, height=\temphereh]{fig_neighbB.png}}
%\hspace{0.5cm}
\hfill
\fbox{\includegraphics[width=\temphere, height=\temphereh]{fig_neighbC.png}}
%\hspace{0.5cm}
\hfill
\fbox{\includegraphics[width=\temphere, height=\temphereh]{fig_neighbR.png}}%
}
\caption{Uvažované komponenty (vyznačené černě) v~boolském procesu (vlevo), shlukovém procesu (uprostřed) a~procesu odpuzujících se komponent (vpravo), jejich těžiště (červené body) a~uvažovaná sousedství (různé 
odstíny modré).}
\label{fig:neighb}
\end{figure}


\section{Srovnání metod}
\label{sec:overview}

V~tab.~\ref{tab:summary} shrneme uvedené metody, jejich použití, výhody a~nevýhody, přičemž první metodu budeme zkráceně nazývat ,,aproximace", druhou ,,skelety"{} a~tře\-tí ,,komponenty a~sousedství". 
Pro verzi aproximace, v~níž používáme obálkový test, pak budeme používat značení ,,AO", pro verzi s~použitím $\mathcal N$-vzdá\-le\-nosti ,,AN", analogicky tyto verze skeletů budeme značit jako ,,SO", resp. ,,SN", a~pro porovnání komponent, sousedství a~komponent se sousedstvím dohromady budeme používat zkratky ,,K", ,,S", resp. ,,KS".

Ze statistického hlediska můžeme vynést závěr, že všechny uvedené metody jsou velice přesné při porovnávání realizací stejných modelů, neboť příslušné histogramy 
$p$-hodnot provedených testů vykazují rovnoměrné rozdělení na intervalu $[0,1]$ (proto zde tyto histogramy neuvádíme).
Zajímavější jsou histogramy $p$-hodnot v~případě srovnávání různých modelů, viz obr.~\ref{fig:hist}.
Z~nich můžeme vidět, že v~metodě aproximace nám test založený na \mbox{$\mathcal N$-vzdá}\-lenostech dává výrazně lepší výsledky než obálkový test, což je nejspíš dáno skutečností, že obálkový test srovnává pouze průměry opěrných funkcí, takže nemůže dostatečně podchytit zejména podobnosti různě orientovaných buněk podobného tvaru.
Nicméně i~test založený na $\mathcal N$-vzdálenostech vykazuje dost nepřesností (ve smyslu vysokých $p$-hodnot).
%
Významně vyšší přesnosti dosahujeme v~případě skeletů. 
Ty nejsou vázány na orientaci, takže obě varianty testů (obálkový i~založený na $\mathcal N$-vzdálenostech) dávají podobnou přesnost, která je zároveň nejvyšší ze všech uvedených metod.


\renewcommand{\arraystretch}{1.14}
\begin{table}[!p]
\caption{Přehled použití, výhod a~nevýhod prezentovaných metod.}
%\centerline%\begin{center}
\renewcommand{\tabcolsep}{0.55cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{7}{|c|}{\textbf{Použití}}\\
\hline
  \multicolumn{2}{|c|}{%
  \multirow{2}*{\textbf{Aproximace}}
  } &
\multicolumn{2}{|c|}{%
\multirow{2}*{\textbf{Skeletony}}} &\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Komponenty}}\\
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{}} &\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{}} &\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{a~sousedství}}\\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{rozlišuje realizace} &\multicolumn{2}{|l|}{bere v~úvahu jak} &\multicolumn{3}{|l|}{rozlišuje realizace}\\
\multicolumn{2}{|l|}{zejména podle délky} &\multicolumn{2}{|l|}{plochu realizací} &\multicolumn{3}{|l|}{podle podobnosti}\\
\multicolumn{2}{|l|}{hranice vzhledem} &\multicolumn{2}{|l|}{tak vzdálenosti} &\multicolumn{3}{|l|}{komponent či}\\
\multicolumn{2}{|l|}{k velikosti  a~podle} &\multicolumn{2}{|l|}{komponent} &\multicolumn{3}{|l|}{jiných částí}\\
\multicolumn{2}{|l|}{tvaru hranice} &\multicolumn{2}{|l|}{a jejich částí} &\multicolumn{3}{|l|}{(dle aplikace)}\\
\multicolumn{2}{|l|}{komponent} &\multicolumn{2}{|l|}{} &\multicolumn{3}{|l|}{}\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\renewcommand{\tabcolsep}{0.25cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{7}{|c|}{\textbf{Výhody}} \\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\multirow{2}*{\textbf{Aproximace}}} &
\multicolumn{2}{|c|}{\multirow{2}*{\textbf{Skeletony}}} &
\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Komponenty}}\\
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{}} &\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{}} &\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{a~sousedství}}\\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{jednoduchá interpretace} &\multicolumn{2}{|l|}{vysoká přesnost} &\multicolumn{3}{|l|}{flexibilita (lze uvažo-}\\
\multicolumn{2}{|l|}{testovacích funkcí} &\multicolumn{2}{|l|}{při rozlišování} &\multicolumn{3}{|l|}{vat různé, nejen}\\
\multicolumn{2}{|l|}{} &\multicolumn{2}{|l|}{podobných realizací} &\multicolumn{3}{|l|}{spojité komponenty)}\\
\hline
AO & AN & SO & SN & K~& S~& KS\\
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{rychlejší} & 
\multicolumn{1}{|l|}{přesnější} & 
\multicolumn{1}{|l|}{rychlejší} & 
\multicolumn{1}{|l|}{lehce} & 
\multicolumn{1}{|l|}{rychlejší} & 
\multicolumn{2}{|l|}{berou}
\\
\multicolumn{1}{|l|}{než AN} & 
\multicolumn{1}{|l|}{než AO} & 
\multicolumn{1}{|l|}{než SN} & 
\multicolumn{1}{|l|}{přesnější}  & 
\multicolumn{1}{|l|}{než S} & 
\multicolumn{2}{|l|}{v úvahu}
\\
 &  &  & 
 \multicolumn{1}{|l|}{než SO} & 
 \multicolumn{1}{|l|}{a~KS} & 
 \multicolumn{2}{|l|}{pozice}\\
  &  &  &  &  & 
  \multicolumn{2}{|l|}{komponent}\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{7}{|c|}{\textbf{Nevýhody}}\\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\multirow{2}*{\textbf{Aproximace}}} &
\multicolumn{2}{|c|}{\multirow{2}*{\textbf{Skeletony}}} &
\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Komponenty}}\\
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{}} &\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{}} &\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{a~sousedství}}\\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{náhodná aproximace,} &\multicolumn{2}{|l|}{málo intuitivní} &\multicolumn{3}{|l|}{vyžaduje na vstupu}\\
\multicolumn{2}{|l|}{volba poloměru pokrý-} &\multicolumn{2}{|l|}{interpretace, nutná} &\multicolumn{3}{|l|}{velké množství}\\
\multicolumn{2}{|l|}{vání, vliv orientace} &\multicolumn{2}{|l|}{volba vstupních} &\multicolumn{3}{|l|}{komponent}\\
\multicolumn{2}{|l|}{buněk mozaiky} &\multicolumn{2}{|l|}{parametrů} &\multicolumn{3}{|l|}{}\\
\hline
AO & AN & SO & SN & K~& S~& KS\\
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{nejméně} & 
\multicolumn{1}{|l|}{málo přesná} & -- & 
\multicolumn{1}{|l|}{lehce} & 
\multicolumn{1}{|l|}{spíše} & 
\multicolumn{2}{|l|}{vzhledem}
\\
\multicolumn{1}{|l|}{přesná} & 
\multicolumn{1}{|l|}{vzhledem} &  & 
\multicolumn{1}{|l|}{vyšší} & 
\multicolumn{1}{|l|}{nižší} & 
\multicolumn{2}{|l|}{k K~výrazně}
\\
\multicolumn{1}{|l|}{ze všech} & 
\multicolumn{1}{|l|}{k~časové} &  & 
\multicolumn{1}{|l|}{časová} & 
\multicolumn{1}{|l|}{přesnost} & 
\multicolumn{2}{|l|}{vyšší časová}
\\
\multicolumn{1}{|l|}{metod} & 
\multicolumn{1}{|l|}{náročnosti} &  & 
\multicolumn{1}{|l|}{náročnost}  &  & 
\multicolumn{2}{|l|}{náročnost}
\\
\hline
\end{tabular}
%\end{center}
\label{tab:summary}
\end{table}


\begin{figure}[!p]
\ifx\relax
\centerline{%
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist1Ea.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist1Eb.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist1Ec.eps}}
\centerline{%
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist1Na.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist1Nb.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist1Nc.eps}}
\centerline{%
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist3a.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist3b.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist3c.eps}}
\centerline{%
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist4a.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist4b.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist4c.eps}}
\centerline{%
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist2a.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist2b.eps}
\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm]{hist2c.eps}}
\fi
%
\fboxrule=1pt%
\fboxsep=0pt%
\def\malx{30.5mm}
\def\maly{23mm}
\newcount\malcitac \malcitac=0
\newcount\malmaxb
\foreach \nazev\malstep/\malmaxa/\malmaxc in {%
  1Ea/10/60/70,%
  1Eb/20/100/100,%
  1Ec/20/100/100,%
  1Na/20/80/90,%
  1Nb/20/100/100,%
  1Nc/20/100/100,%
  3a/20/80/95,%
  3b/5/30/35,%
  3c/10/60/65,%
  4a/20/100/100,%
  4b/20/80/95,%
  4c/20/100/100,%
  2a/20/100/100,%
  2b/20/100/100,%
  2c/20/100/100%
  }{%
%\foreach \podnazev in {a,b,c} {%
\pgfmathparse{\malmaxc+0.08*\malmaxc}
\let\malmaxb=\pgfmathresult
%\advance\malmaxb by 0.08*\malmaxc%
\global\advance\malcitac by 1%
\begin{tikzpicture}
\node at (\malx/2,\maly/2) {\includegraphics[width=\malx, height=\maly,trim=22mm 26mm 16mm 22mm, clip]{hist\nazev-eps-converted-to.pdf}};
%\draw (0,0) rectangle (\malx,\maly);
\draw (0.1cm,0)--(1/1.042*\malx+0.1cm,0);
\foreach \x/\altx in {%
  0.0/0{,}0,%
  0.2/0{,}2,%
  0.4/0{,}4,%
  0.6/0{,}6,%
  0.8/0{,}8,%
  1.0/1{,}0%
  } {
  % osa x 
  \draw (\x/1.042*\malx+0.1cm,0)--(\x/1.042*\malx+0.1cm,-0.1);
  \node[scale=0.7] at (\x/1.042*\malx+0.1cm,-0.25) {\altx};
}
  % osa y 
\draw (0,0.1cm)--(0,\malmaxa/\malmaxb*\maly+.1cm);
\foreach \x in {0,\malstep,...,\malmaxa} {
  \draw (0,\x/\malmaxb*\maly+.1cm)--(-0.1,\x/\malmaxb*\maly+.1cm);
  \node[anchor=east, scale=0.7] at (-0.05,\x/\malmaxb*\maly+.1cm) {\x};
}
\end{tikzpicture}%
%\fbox{\includegraphics[width=4cm, height=2.7cm,trim=22mm 26mm 16mm 22mm, clip]{hist\nazev\podnazev-eps-converted-to.pdf}}%
\ifnum\malcitac=3\par\smallskip \global\malcitac=0 \else\hfill \fi
}%\par%
%}
\vspace{-2ex}\par
\caption{Histogramy $p$-hodnot pro srovnání boolského procesu s~procesem s~odpuzujícímí se komponentami (vlevo), boolského se shlukovým procesem (uprostřed) a~shlukového procesu s~procesem s~odpuzujícímí se komponentami (vpravo) metodami AO (první řádek), AN (druhý řádek), K~(třetí řádek), S~(čtvrtý řádek), KS, SO and SN (stejné histogramy v~pátém řádku).}
\label{fig:hist}
\end{figure}


Pro metodu komponent a~sousedství jsme použili pouze test založený na $\mathcal N$-vzdálenostech, neboť testovacími charakteristikami nejsou přímo funkce, nýbrž komponenty a~příslušná sousedství, pro něž jsme nenalezli vhodnou verzi obálkového testu. 
Zde z~histogramů vidíme, že metoda velice špatně odlišuje shlukový proces od ostatních procesů, což je způsobeno jednak malým množstvím komponent ve shlukovém procesu, jednak jednou velkou dominantní komponentou v~každé realizaci tohoto procesu, která významně ovlivní hodnotu symetrické diference, čímž potlačí hodnoty symetrických diferencí ostatních dvojic komponent jak v~původních realizacích, tak v~následných permutacích.

\begin{table}[!bt]
\caption{Procenta malých $p$-hodnot pro boolský proces\\ a~proces odpuzujících se komponent.}
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\renewcommand{\tabcolsep}{0.4cm}
\begin{center}
    \begin{tabular}{|@{\kern5mm}l@{\kern5mm}||@{\kern3mm}r@{\kern4mm}|r|r|r|}
    \hline
         Metoda &  
         $\ \leq 0{,}001$ & 
         $\,\leq 0{,}01\,$ & 
         $\,\leq 0{,}05\,$ & 
         $\ \leq 0{,}1\ $ 
         \\ \hline
\kern2.5mm AO  & $5\,\%$ & $5\,\%$ & $66\,\%$ & $76\,\%$ \\ \hline
\kern2.5mm AN & $50\,\%$ & $72\,\%$ & $87\,\%$ & $91\,\%$\\ \hline
\kern2.5mm SO & $99\,\%$ & $100\,\%$ & $100\,\%$ & $100\,\%$ \\ \hline
\kern2.5mm SN & $100\,\%$ & $100\,\%$ & $100\,\%$ & $100\,\%$\\ \hline
\kern2.5mm K & $67\,\%$ & $83\,\%$ & $95\,\%$ & $99\,\%$\\ \hline
\kern2.5mm KN & $97\,\%$ & $100\,\%$ & $100\,\%$ & $100\,\%$\\ \hline
\kern2.5mm S & $99\,\%$ & $100\,\%$ & $100\,\%$ & $100\,\%$\\ \hline
    \end{tabular}
\end{center}
\label{tab:percent}
\end{table}


Nakonec v~tab.~\ref{tab:percent} uvádíme podíly $p$-hodnot menších nebo rovných 
$0{,}001$, $0{,}01$, $0{,}05$ a~$0{,}1$, které nejsou z~histogramů patrné, pro různé modely, jejichž realizace jsou si vizuálně nejpodobnější, jmenovitě pro boolský proces a~proces odpuzujících se komponent. 
Z~ní naopak, v~porovnání k~předešlému, vidíme, že při rozlišování těchto procesů je metoda komponent a~sousedství významně silnější než metoda aproximace.
Nejsilnější metodou i~zde zůstávají skelety.

%\vskip-\baselineskip

Závěrem bychom tedy mohli říct, že výběr vhodné metody závisí jednak na účelu a~jednak na vzhledu realizace. 
Záleží-li nám nejen na tvarech, ale i~na vzájemné poloze komponent v~realizaci, je vhodné použít skelety.
Zajímá-li nás pouze tvar komponent, nabízí se aproximace nebo komponenty a~sousedství, přičemž druhá jmenovaná metoda přesněji rozlišuje komponenty podobných velikostí a~první si lépe poradí v~případě extrémně velikých komponent či menšího počtu komponent v~realizaci.


\Podekovani{Podpořeno grantem GAČR~19-04412S.}


\newpage
\small
\selectlanguage{english}
\renewcommand{\refname}{Literatura}
\begin{thebibliography}{99}
\setlength\itemsep{1.5pt}

%\bibitem[Anselin (1995)]{anselin:1995}  Anselin L (1995) Local indicators of spatial association - LISA. Geogr Anal 27:93--115

\bibitem{chiu:2013} Chiu, S.\,N., Stoyan, D., Kendall, W.\,S., Mecke, J.: \textit{Stochastic Geometry and its Applications.} John Wiley \& Sons, New York, 2013,\\ 
doi: \href{https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9781118658222}{10.1002/9781118658222}.

%\bibitem[Diggle (1981)]{diggle:1981} Diggle PJ (1981) Binary mosaics and the spatial pattern of heather. Biometrics 373:531

\bibitem{davison:1997} Davison, A.\,C. Hinkley, D.\,V.: \textit{Bootstrap Methods and their Application,} Volume~1 of Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press, 1997,
doi: \href{https://www.cambridge.org/core/books/bootstrap-methods-and-their-application/ED2FD043579F27952363566DC09CBD6A}{10.1017/CBO9780511802843}.

\bibitem{debayle:2020} Debayle, J., Gotovac \DJ ogaš, V., Helisov\'a, K., Stan\v{e}k, J., Zikmundov\'a, M.: Assessing Similarity of Random Sets via Skeletons. \textit{Methodology and Computing in Applied Probability}, 2020+, \\
doi: 
\href{https://link.springer.com/article/10.1007/s11009-020-09785-y}{10.1007/s11009-020-09785-y}.

\bibitem{ebeida:2011}
Ebeida, M.\,S., Davidson, A.\,A., Patney, A., Knupp, P.\,M., Mitchell, S.\,A., Owens, J.\,D.: Efficient Maximal Poisson-Disk Sampling. In \textit{SIGGRAPH '11}: ACM SIGGRAPH 2011 papers, Hugues Hoppe Eds., July 2011,\\ 
doi: \href{https://dl.acm.org/doi/10.1145/1964921.1964944}{10.1145/1964921.1964944}.

\bibitem{gotovac:2019a} Gotovac \DJ ogaš, V.: Similarity Between Random Sets Consisting of many Components. \textit{Image Analysis and Stereology} \textbf{38}, 185--99, 2019,\\ 
doi: \href{https://www.ias-iss.org/ojs/IAS/article/view/2017/1108}{10.5566/ias.2017}.

\bibitem{gotovac:2019b} Gotovac \DJ ogaš, V., Helisov\'a, K.: Testing Equality of Distributions of Random Convex Compact Sets via Theory of~$\mathcal{N}$-Distances. \textit{Methodology and Computing in Applied Probability,} 2020+,
doi: \href{https://link.springer.com/article/10.1007/s11009-019-09747-z}{10.1007/s11009-019-09747-z}.

%\bibitem{gotovac:2017} Gotovac V, Helisov\'{a} K, Klebanov LB, Volchenkova IV (2017). A new definition of random sets. arXiv:1712.09452

\bibitem{gotovac:2016} Gotovac \DJ ogaš, V., Helisov\'a, K., Ugrina, I.: Assessing Dissimilarity of Random Sets Through Convex Compact Approximations, Support Functions and Envelope Tests. \textit{Image Analysis and Stereology} \textbf{35}, 181--193, 2016,\\
doi: \href{https://www.ias-iss.org/ojs/IAS/article/view/1490}{10.5566/ias.1490}.

%\bibitem[Gretton et al. (2012)]{gretton:2012} Gretton A, Borgwart KM, Rash MJ, Scholkopf B, Smola A (2012) A Kernel Two-Sample Test. J Mach Learn Res 13: 723--73

%\bibitem{illian:2008} Illian J, Penttinen A, Stoyan H, Stoyan D (2008) Statistical analysis and modelling of spatial point patterns. John Wiley \& Sons, Chichester

%\bibitem{kendall:1999} Kendall WS, Van Lieshout MNM, Baddeley AJ (1999) Quermass-interaction processes: Conditions for stability. Adv Appl Probab 31:315--42

\bibitem{hermann:2015} Hermann, P., Mrkvi\v{c}ka, T., Mattfeldt, T., Min\'{a}rov\'{a}, M., Helisov\'{a}, K., Nicolis, O., Wartner, F., Stehl\'{i}k, M.: Fractal and Stochastic Geometry Inference for Breast Cancer: A~Case
Study with Random Fractal Models and Quermass-Interaction Process. \textit{Statistics in Medicine} \textbf{34}, 2636--2661, 2015,\\ 
doi: \href{https://doi.org/10.1002/sim.6497}{10.1002/sim.6497}.

\bibitem{klebanov:2006} Klebanov, L.\,B.: \textit{$\mathcal{N}$-distances and Their Applications.} Karolinum Press, Charles University, Prague, 2006.

%\bibitem{lantuejoul:1978} Lantuejoul C (1978) La squelettisation et son application aux mesures topologiques des mosa\ "iques polycristallines.  PhD Thesis, Ecole des Mines de Paris

\bibitem{lavie:2000} Lavie, M.: Characteristic Function for Random Sets and Convergence of Sums of Independent Random Sets. \textit{Acta Math Viet} \textbf{25}, 87--99, 2000.

%\bibitem{lopez:2009} Lopez-Pintado S, Romo J (2009) On the concept of depth for functional data. J Am Stat Assoc 104:486--503.

\bibitem{maragos:1986} Maragos, P.\,A., Schafer, R.\,W.: Morphological Skeleton Representation and Coding of Binary Images. \textit{IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing} \textbf{34}, 1228--1244, 1986,
doi: \href{https://ieeexplore.ieee.org/document/1164959}{10.1109/TASSP.1986.1164959}.

%\bibitem[Marozzi (2004)]{marozzi:2004} Marozzi M (2004) Some remarks about the number of permutations one should consider to perform a permutation test. Statistica 64:193--201

\bibitem{matheron:1975} Matheron, G.: \textit{Random Sets and Integral Geometry}. John Wiley \& Sons, New-York, 1975.

\bibitem{molchanov:2005} Molchanov, I.: \textit{Theory of Random Sets}. Springer, New York, 2005, \\
doi: \href{https://www.springer.com/gp/book/9781849969499}{10.1007/1-84628-150-4}.

\bibitem{moeller:2008} M\o{}ller, J., Helisov\'{a}, K.: Power Diagrams and Interaction Processes for Unions of Discs. \textit{Advances in Applied Probability} \textbf{40}, 321--47, 2008,\\
doi: \href{https://doi.org/10.1239/aap/1214950206}{10.1239/aap/1214950206}.

\bibitem{moeller:2010} M\o{}ller, J., Helisov\'{a}, K.: Likelihood Inference for Unions of Interacting Discs. \textit{Scandinavian Journal of Statistics} \textbf{37}, 365--81, 2010,\\
doi: \href{https://sfx.aub.aau.dk/sfxaub?sid=pureportal&doi=10.1111/j.1467-9469.2009.00660.x}{10.1111/j.1467-9469.2009.00660.x}.

\bibitem{mrkvicka:2011} Mrkvi\v{c}ka, T., Mattfeldt, T.: Testing Histological Images of
Mammary Tissues on Compatibility with the Boolean Model of Random
Sets. \textit{Image Analysis and Stereology} \textbf{30}, 11--18, 2011,
doi: \href{https://www.ias-iss.org/ojs/IAS/article/view/19}{10.5566/ias.v30.p11-18}.

\bibitem{mrkvicka:2017} Mrkvička, T.: Globální obálkové testy aneb jak otestovat vhodnost statistického modelu na základě funkcionální charakteristiky. \textit{Pokroky matematiky, fyziky a~astronomie} \textbf{62}(1), 17--23.

\bibitem{myllymaki:2017} Myllym\"aki, M., Mrkvi\v{c}ka, T., Grabarnik, P., Henri Seijo, H., Hahn, U.: Global Envelope Tests for Spatial Processes. \textit{Journal of the Royal Statistical Society}, Series B (Statistical Methodology) \textbf{79}, 381--404, 2017,\\
doi: \href{https://doi.org/10.1111/rssb.12172}{10.1111/rssb.12172}.

\bibitem{neumann:2016} Neumann, M., Stan\v{e}k, J., Pecho, O.\,M., Holzer, L., Bene\v{s}, V., Schmidt, V.: Stochastic 3D Modeling of Complex Three-phase Microstructures in SOFC-electrodes with Completely Connected Phases. \textit{Computational Materials Science} \textbf{118}, 353--64, 2016,
doi: \href{https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2016.03.013}{10.1016/j.commatsci.2016.03.013}.

%\bibitem{serra:1980} Serra, J. (1980): The Boolean model and random sets. Comput. Graph. Image Process., 12:99--126

\bibitem{serra:1982}
Serra, J.: \textit{Image Analysis and Mathematical Morphology,} Vol.~2: Theoretical Advances. Academic Press, 1982,
doi: \href{https://doi.org/10.1002/cyto.990040213}{10.1002/cyto.990040213}.

%\bibitem{soille:2003} Soille P (2003) Morphological Image Analysis: Principles and Applications. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New-York

%\bibitem{b1} G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, ``On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions,'' Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529--551, April 1955.
%\bibitem{b2} J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68--73.
%\bibitem{b3} I. S. Jacobs and C. P. Bean, ``Fine particles, thin films and exchange anisotropy,'' in Magnetism, vol. III, G. T. Rado and H. Suhl, Eds. New York: Academic, 1963, pp. 271--350.
%\bibitem{b4} K. Elissa, ``Title of paper if known,'' unpublished.
%\bibitem{b5} R. Nicole, ``Title of paper with only first word capitalized,'' J. Name Stand. Abbrev., in press.
%\bibitem{b6} Y. Yorozu, M. Hirano, K. Oka, and Y. Tagawa, ``Electron spectroscopy studies on magneto-optical media and plastic substrate interface,'' IEEE Transl. J. Magn. Japan, vol. 2, pp. 740--741, August 1987 [Digests 9th Annual Conf. Magnetics Japan, p. 301, 1982].
%\bibitem{b7} M. Young, The Technical Writer's Handbook. Mill Valley, CA: University Science, 1989.

\end{thebibliography}

