\gdef\mujnazevCS{Dvě poznámky k~Honzově písničce}
\gdef\mujnazevEN{Two notes on Honza's song}
\gdef\mujnazevPR{\mujnazevCS}
\gdef\mujnazevDR{\mujnazevEN}
\gdef\mujauthor{Zdeněk Fabián}

\bonushyper
\def\EE{\mathrm{E}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\Var{\mathrm{Var}}
\def\var{\mathrm{Var}}

\pgfplotsset{
  every axis plot/.append style={line width=1pt},
  }
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
%\tikzset{malmark/.style={draw=#1,#2}}

\ifx\malretezec\barevnost
\pgfplotscreateplotcyclelist{mallist}{%
  {black,solid},
  {black,dashed},
  {black,dotted},
  {black,dashdotted},
  {black,densely dotted}
  }
\else
\pgfplotscreateplotcyclelist{mallist}{%
  {red,solid},
  {green,solid},
  {blue,solid},
  {cyan,solid},
  {magenta,solid}
  }
\fi

\nazev{\mujnazevCS}

\nazev{\mujnazevEN}

\author{\mujauthor}

\Adresa{Ústav informatiky AV ČR, Pod Vodárenskou
věží 271/2, 182\,07 Praha 8}

\Email{zdenek@cs.cas.cz}

\Abstrakt{V~článku popisuji cestu k~nové
metodě inference založené na zjiště\-ní,
že ke každé spojité náhodné
veličině lze přiřadit náhodnou veličinu s~výz\-na\-mem relativního vlivu pozorování na
konstrukci typické hodnoty rozdělení. Odtud plyne
nový popis standardních rozdělení, snadno
zobecnitelný pro parametrická rozdělení a
použitelný pro řešení statistických
úloh.}

\KlicovaSlova{Kovanic, skaláry, skalární
skórová funkce}

\Abstract{In the paper the way to a~new paradigm in
probabilistic and statistical reasoning is described. The new paradigma is based on the finding that
a~scalar-valued score random variable expressing relative
influence of items generated from the distribution of $X$ with
respect to its typical value can be assigned to any continuous univariate random variable $X$.
The approach leads to a~new description of standard distributions.
The methodology is generalized for parametric
families and used for solutions of some estimation problems.}

\KeyWords{Kovanic, scalars, scalar-valued score function}.

\bigskip

%\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage{latexsym}
%\usepackage{ntheorem}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\section{Úvod}

\uv{Co teď čtete, pane Werichu?} \uv{Teď, pane
Horníčku, Švejka.} \uv{Poprvé?} \uv{To ne, ale
teď poprvé s~vysvětlivkama \ldots{} Jsou delší
než celá kniha.}

Tolik nepřesná citace. Já mám k~Honzově
 dílku pouze dvě připomínky: k~jednomu pojmu
mladším asi neznámému a~k~jednomu taky
nepřesnému. Písnička je to ovšem
pěkná.

\section{Kovanic}

Když jsem před  mnoha lety zapustil kořeny v
Ústavu Informatiky AV (jmenovalo se to tehdy Centrální
výpočetní středisko ČSAV) se zadáním
založit knihovnu programů pro analýzu signálů,
řekla mi má nová šéfová OK (Olga
Kufudaki): \uv{OK. Když umíš ty seismický vlny,
vemu tě do Ústavu fyziologických regulací, tam
mají časových ržad to budeš koukat.} A~jednou
později: \uv{Deme se podívat na Kovanice. Skládá
data podle teorie relativity.}

Kovanicova gnostická teorie \cite{1}, deklarovaná jako alternativa
ke statistice, pracovala s~kladnými daty pomocí
podivuhodných fyzikálních postupů. Data se
prezentovala svou \uv{fidelity} a~\uv{irrelevancí}. Tou dobou
vrcholil boom robustních odhadů. Nové metody se
testovaly na známých Stiglerových datech \cite{2} z
historických měření fyzikálních
veličin.  Kovanicovy \uv{gnostické} odhady se ukázaly
být nejblíže v~současnosti známým
hodnotám.

Nevím, co si o~tom mysleli statistici, ale na Kovanicovy
přednášky a~následné diskuse už nechodili.
Já se zrovna zabýval tzv. \uv{mrkací} časovou
řadou, registrovanou  při relaxaci a~při
duševní činnosti. Programy si s~ní neporadily,
protože každý proband občas narušil svou
mrkací frekvenci a~chvilku zíral  bez mrknutí.
Naprogramoval jsem si adaptaci Kovanicových odhadů na
časové řady a~ejhle, spektra dostala smysl. Už ani
nevím, zda v~nich fyziologové něco objevili; já
jsem objevil, že Kovanic nepodvádí a
 že na  jeho odhadech asi něco je.

Tak jsem si četl Kovanicovy práce pořád dokola a
pátral po něčem  podobném v~učebnicích
statistiky. \v{C}asem jsem pochopil: Kovanic vkládá data
do své irrelevance, funkce, kterou jsem ani v~teorii
pravděpodobnosti, ani v~matematické statistice
nenašel.

Po delším čase jsem publikoval článek \cite{3} o
tom, že Kovanicova \uv{fidelity} je pravděpodobnostní
hustota loglogistického rozdělení a~\uv{irrelevance}
něco jako věrohodnostní funkce,
příslušná ne parametru, ale přímo tomu
rozdělení. Zhruba řečeno, Kovanicova teorie je
v~zásadě teorie jednoho, v~tehdejší době asi
nepříliš používaného,
pravděpodobnostního rozdělení.
Rozdělení, které je pro kladná data velmi
šikovné. Zmíněná funkce je omezená (proto
jsou odhady robustní) a~velice nesymetrická (a~proto jsou
odpovídající odhady lepší než
většina robustních odhadů založených na
symetrických omezených funkcích).  Těžko
uvěřit, že tato  funkce v~teorii
pravděpodobnosti i~matematické statistice chyběla.
Přesněji, v~teorii pravděpodobnosti chyběla
úplně, ve
 statistice je v~některých
případech identická s~Fisherovou skórovou
funkcí pro centrální parametr. Ta je však
definována pouze pro parametrická rozdělení a
rozpadá se při vektorovém parametru do několika
větví (důsledkem čehož je třeba to,
že ve výběrovém prostoru  je obtížné
definovat vzdálenost bez pomoci matic). Irrelevance fungovala
i~bez parametrů.

Ukázalo se, že Kovanicova volba výběrového
prostoru na kladné části reálné osy je
podstatná. Funkce, jejíž smysl je shodný s
Kovanicovou irrelevancí, je  pro rozdělení na celé
reálné ose dávno známá jako skórová
funkce. Známá, ale nepoužívaná ze
zřejmého důvodu: dosadíme-li do jejího vzorce
hustotu rozdělení definovaného jen na části
reálné osy, dostaneme cosi nesmyslného. Třeba pro
rovnoměrné rozdělení nulu.

\section{Skaláry}

\subsection{Skórová funkce}


 Teď už o~statistice. Buď $Y$ náhodná veličina se spojitým rozdělením $G$
  s~nosičem ${\cal R}$ (\uv{na
 ${\cal R}$}), pro jednoduchost s~unimodální
 spojitě diferencovatelnou hustotou
 $g(y)$. Její {\it skórová funkce} je
 \begin{equation} S_G(y) =-\frac{g'(y)}{g(y)}. \label{score}
\end{equation}
 Pro  rodinu rozdělení s~parametrem polohy $G(y-\mu),\, \mu
\in {\cal R}$, je skórová funkce fundamentální
funkcí klasické statistiky a Fisherovým skórem pro
$\mu$,
\begin{equation} S_G(y-\mu)=\frac{\partial}{\partial \mu} \log
g(y-\mu). \label{eq}
\end{equation}
Odhad $\mu$ z~dat $y_1,\ldots{},y_n$, realizací náhodných
veličin $(Y_1,\ldots{},Y_n)$ s~rozdělením  $G(y-\mu)$ s
neznámým $\mu$  z~rovnice
\begin{equation}
 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_G(y_i- \mu)=0 \label{lik} \end{equation}
 je eficientní, a~tedy asymptoticky nejlepší. Pro
$\mu=0$ je (\ref{score}) nepochybně funkcí
charakterizující samotné rozdělení.

Co ale když má rozdělení těch parametrů
víc?

R. A. Fisher před sto lety zobecnil rovnici (\ref{lik}) pro
vektorový parametr
$\mbox{\boldmath$\theta$}=(\theta_1,\ldots,\theta_m)$ na soustavu
$m$ rovnic
\begin{equation} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}
U_j(y_i;\mbox{\boldmath$\theta$}) = 0, \hskip5mm j=1,\ldots{},m,
\label{ML} \end{equation} kde funkce
$U_j(y;\mbox{\boldmath$\theta$})=\frac{\partial}{\partial
\theta_j}
   \log f(x;\mbox{\boldmath$\theta$})$
jsou dnes známé jako Fisherovy skóry.
\v{R}ešením soustavy rovnic (\ref{ML}) získáme
maximálně věrohodné (maximum likelihood: ML)
odhady $({\widehat \theta}_1,\ldots{},{\widehat \theta}_m)$, asymptoticky
normální, eficientní, takže nejlepší,
ovšem jen když data nejsou kontaminována.

Pro tento častý případ dosadil do (\ref{lik}) P.
J. Huber, model nemodel,
 omezenou funkci (které se bohužel taky říká score function) a~nějakých těch  \uv{ulítlých}
pozorovaní si robustní odhady ani nevšimnou.

Ale co když na svém modelu z~nějakých
důvodů trváme?

Napadlo mne se blíže podívat na skórovou funkci
(řekněme v~užším slova smyslu) (\ref{score}).
Ukázalo se, že má úžasné vlastnosti:

a/ Podle chování $S_G(y)$ v~plus mínus nekonečnu je na
${\cal R}$ pouhých 6 typů rozdělení (viz Tabulka~\ref{tab1}).

b/ Momenty \begin{equation} \EE S^k_G(Y)=\int_{\cal X} S_G^k(y) f(y)
\; \dd y \label{MOM} \end{equation} jsou pro $k \in {\cal N}$
konečné (je-li $S_G$ omezená, je to zřejmé,
hustoty rozdělení s~neomezenou skórovou funkcí
rychle klesají k~nule).

c/ Za typickou hodnotu lze vzít modus $y^*: S_G(y^*)=0.$

d/ $\EE S_G^2$ se v~\cite{4} považuje za Fisherovu informaci
rozdělení $G$. \vskip3mm

\begin{table}[!bth]
\caption{$S_G$: nejjednodušší skórové funkce
typu N neomezená, O~omezená, E exponenciální, P
polynomiální, R redescentní. $g$ je
příslušná hustota z~(\ref{score}).} \centering
\label{tab1}%
%\vskip3mm
\begin{tabular}{clcl} \hline  $S_G(y)$ &  Typ & $g(y)$ & Rozdělení
 \\ \hline $\frac{\ee^y-\ee^{-y}}{2}$ & NE &
$\frac{1}{2K_0(1)} \ee^{-\cosh y}$  & hyperbolic
\\ $y$ & NP & $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
\ee^{-\frac{1}{2} y^2}$ & normal \\
 $\ee^y-1$ & ON &  $\ee^y \ee^{-\ee^y}$  & Gumbel    \\
 $1-\ee^{-y}$ &  NO &  $ \ee^{-y} \ee^{- \ee^{-y}}$ &  extreme value   \\
 $\frac{\ee^y-1}{\ee^y+1}$ & OO  & $\frac{\ee^y}{(1+\ee^y)^2}$ & logistic
\\  $\frac{2 y}{1+y^2}$ & OR  & $\frac{1}{\pi  (1+y^2)}$ &  Cauchy
\\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
%\vskip3mm


Kupodivu,  není o~ní v~její čisté podobě
(\ref{score})  v~teorii pravděpodobnosti a~ve statistice ani
vidu ani slechu. Důvod je jasný. Jak už bylo řečeno, pro rozdělení
definované na otevřeném intervalu ${\cal X} \neq {\cal
R}$ vzorec ({\ref{score}) generuje nesmysly. %Kupříkladu
%pro rovnoměrné rozdělení nulu.

Ale Kovanic na polopřímce nějakou skórovou funkci
má. Jenže jeho postup pro jiná rozdělení
nefunguje.

\subsection{Skórová funkce na intervalu a~polopřímce}

Nakonec mi to došlo. Jak se dostaneme z~prostoru A~do
prostoru B? V~životě  všelijak, v~matematice
transformací. \vskip2mm

Buď ${\cal X} \subseteq {\cal R}$ otevřený interval a
$\eta: {\cal X} \to {\cal R}$ rostoucí spojitá a
diferencovatelná. Uvažujme náhodnou veličinu $Y$ na
${\cal R}$ a~říkejme jejímu rozdělení $G$ s~hustotou $g(y)$ prototyp. Transformovaná náhodná
veličina
\begin{equation} X=\eta^{-1}(Y) \label{RV} \end{equation} má  rozdělení
$F(x)=G(\eta(x))$ s~hustotu
\begin{equation}
 f(x)=g(\eta(x)) \eta'(x). \label{traf} \end{equation}
 A~{\it skórová funkce} na ${\cal R}^+$ bude, logicky,
  transformovanou skórovou funkcí prototypu \cite{4}:
\begin{equation} S_F(x)=S_G(\eta(x)).
\label{tscor} \end{equation} Transformované logistické
rozdělení pro $\eta(x)=\log x$ je loglogistické a~jeho
$S_F(x)$ je ta Kovanicova irrelevance \cite{5}.

Místo (\ref{tscor}) lze psát
\begin{equation} S_F(x)=-\frac{1}{f(x)}\frac{\dd}{\dd x}
 \left[\frac{1}{\eta'(x)}
f(x)\right], \label{tscore}
\end{equation}
ježto podle (\ref{score}) a~(\ref{traf})
 $$S_F(x)=-\frac{1}{g(\eta(x)) \eta'(x)}
 \frac{\dd}{\dd x}g(\eta(x))=-\frac{g'(\eta(x))}{g(\eta(x)}=S_G(\eta(x))$$
 a
skórová funkce rozdělení na  ${\cal X}$
nezávisí na prototypu.

Závisí však  na té transformaci. Ale tu si
nevolíme. Většinou je z~(\ref{traf}) \uv{vidět} $g$
nebo ten Jakobián. Pro $\eta:{\cal R} \to {\cal R}$ vždycky.
Pro
 ${\cal X} \neq {\cal R}$ to může být vidět:
rozdělení
 na ${\cal X}=(\pi/2,\pi/2)$ s~hustotou
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cos^2 x} \ee^{-\frac{1}{2} \tan^2 x}$$
má jistě za prototyp  Gaussovo rozdělení a
$\eta(x)=\tan x$. \uv{Vidět} to ale být nemusí, a~tehdy
je nejlépe předpokládat, že
$$\eta(x) =\left\{\begin{array}{cll}
\log (x-a) & \hskip1cm {\rm pro} & {\cal X}=(a,\infty)
\\ \log \left( \frac{ \textstyle x-a }{ \textstyle b-x} \right)
 & \hskip1cm {\rm pro} & {\cal X}=(a,b),
\end{array}
\right. $$ neb ji má většina běžně
užívaných rozdělení.  $S_F$ je
pak jednoznačná \cite{6}.

{\it Typickou hodnotou} $x^*$ rozdělení $F$ s
unimodálním prototypem je  $x^*: S_F(x^*)=0,$ což je
podle (\ref{RV}) projekce modu prototypu: $x^*=\eta^{-1}
(y^*)$. Není to obecně ani střední hodnota, ani
modus, ani medián. Se střední hodnotou je
identická pro $F$ s~lineární skórovou funkcí,
což je rozdělení Gaussovo \mbox{$(S_F(x)=x)$},
exponenciální $(S_F(x)=x-1)$ a~rovnoměrné
($S_F(x)=2x-1$). Vlastnosti $x^*$ (kterému říkám
{\it score mean}) viz \cite{7}.

Skórové momenty $F$ jsou podle (\ref{MOM}) a~(\ref{tscor})
\begin{equation} \EE S_F^k=\int_{\cal X} S_G^k(\eta(x)) g(\eta(x) \; \dd x=
\EE S_G^k. \label{MOM2} \end{equation} Speciálně, $\EE S_F=0.$
Za míru variability rozdělení $F$ lze považovat
{\it skórový rozptyl}
\begin{equation} \omega_F^2 \equiv \Var_S X=
 \frac{\EE S_F^2}{[S'_F(x^*)]^2}.   \label{Vary} \end{equation}
Důvody pro tuto volbu viz \cite{8}.

Funkci
\begin{equation} w_F(x)=S'_F(x)=\frac{\dd S_F(x)}{\dd x} \label{weight}
\end{equation} lze interpretovat \cite{7} jako váhovou funkci rozdělení $F$.
 Vzdálenost bodů $x_1,x_2 \in {\cal
X}$ lze rozumně definovat jako
 $d_F(x_1,x_2)=|\delta_F(x_1,x_2)|$
 kde
 \begin{equation} \delta_F(x_1,x_2)=\frac{S_F(x_2)-S_F(x_1)}{S'_F(x^*)}
 =\frac{1}{w_F(x^*)} \int_{x_1}^{x_2} w_F(x)f(x) \;
 \dd x. \label{delta} \end{equation}
Tím  je jednoznačně definována metrika (či
pseudometrika) ve výběrovém prostoru, indukovaná
pravděpodobnostní mírou reprezentovanou
distribuční  fun\-kcí~$F$, viz \cite{8}.

  V~Tabulce~\ref{tab2} uvádím hustoty,
skórové a~váhové funkce na ${\cal R}^+$
transformovaných  prototypů z~Tabulky~\ref{tab1} při
$\eta(x)=\log x$ (bez log-Cauchy, to má příliš
těžký chvost). Jsou stejného typu jako jejich
prototypy. %\vskip3mm

\begin{table}[!bht]
\caption{Charakteristiky transformovaných standardních
rozdělení (GIG je Generalized Inverse Gaussian).} %\vskip3mm
\label{tab2}
\centering
\begin{tabular}{llccc} \hline Typ  & Rozdělení &  $f(x)$ &
$T_F(x)$ & $w_F(x)$
\\ \hline NE & GIG &  $\frac{1}{2K_0(1) x} \ee^{-\frac{1}{2} (x+1/x)}$
& $\frac{1}{2} (x-1/x)$ & $\frac{1}{2}(1+ 1/x^2)$
\\  NP & lognormal &  $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}x}
\ee^{-\frac{1}{2}{\log}^2 x}$ & $\log x$ & $1/x$
\\ ON & exponential  & $\ee^{-x}$ & $x-1$ & 1 \\
ON & Fréchet &  $\frac{1}{x^2} \ee^{-1/x}$ & $1-1/x$ & $1/x^2$ \\
OO &  loglogistic & $\frac{1}{(x+1)^2}$ & $\frac{x-1}{x+1}$ & $\frac{2}{(x+1)^2}$ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{table}
%\vskip3mm





\subsection{Centrální limitní věta pro
skórové náhodné veličiny}

Jsou-li $X_1,\ldots{},X_n$ nezávislé náhodné
veličiny na ${\cal X}$ s~rozdělením
  $F$ a~skórovou funkcí $S_F(x)$, jsou nezávislé i~náhodné
veličiny $S_F(X_1),\ldots{},S_F(X_n)$. Buď
$${\overline S}_F=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_F(X_i).$$

 {\bf Věta.} Pro $n \to \infty$ je
$ \sqrt{n}\; {\overline S}_F \stackrel{{\cal D}}{\longrightarrow} {\cal
N}(0,\EE S_F^2).$ \vskip3mm

{\it Důkaz.} Ježto  $\EE S_F=0$ a~$\EE S_F^2$ je
konečná, věta platí podle Lindebergovy\z Lévyho
centrální limitní věty. \vskip3mm

Když se tedy \uv{pracuje} se skórovými náhodnými
veličinami, není  nutno (teoreticky) rozlišovat
rozdělení \uv{obyčejná} a~s
těžkými chvosty (heavy-tailed).


\subsection{Skalární skórová funkce
parametrických rozdělení}

Vraťme se k~funkci (\ref{tscore}). Je asi už patrné,
jak je možné ji jednoduše zobecnit pro $F$ s
vektorovým parametrem. Takto:
 \begin{equation} S_F(x;\mbox{\boldmath$\theta$}) =
-\frac{1}{f(x;\mbox{\boldmath$\theta$})} \frac{\dd}{\dd x}
\left[\frac{1}{\eta'(x)} f(x;\mbox{\boldmath$\theta$})\right].
\label{cross}
\end{equation}
(Pro parametrická rozdělení je ve vzorci
přídavný konstantní člen, aby $\EE S_F^2$ byla
Fisherova informace, viz \cite{6,7}).

Ač je $\mbox{\boldmath$\theta$}$ vektor, skórová
funkce (funkce, Honzo) je skalární (\uv{scalar-valued}). A
nejen to: v~(\ref{cross}) se derivuje pouze podle
proměnné, takže všechny výš}e uvedené
vzorce platí i~pro parametrická rozdělení.
Několik takových s~těžkými chvosty
uvádím  v~Tabulce~\ref{tab3}.%\vskip3mm

\begin{table}[!bth]
\caption{Hustoty, skórové funkce, typické hodnoty a
skórové rozptyly několika rozdělení s
těžkými chvosty na ${\cal R}^+$.} %\vskip3mm
\centering
\label{tab3}
 \begin{tabular}{lcccc} \hline
\hskip0.5cm $F$ & $f(x)$ & $S_F(x)$ & $x^*$ & $\omega_F^2$ \\
\hline
 Fréchet &  $\frac{c}{x} (\tau/x)^c
\ee^{-(\tau/x)^c}$ & $\frac{c}{\tau}[1-(\tau/x)^c]$
& $\tau$ &  $\tau^2/c^2$ \\
   loglogistic &  $\frac{c}{x}
 \frac{(x/\tau)^c}{[(x/\tau)^c+1]^2}$ &
 $\frac{c}{\tau}
 \frac{(x/\tau)^c-1}{(x/\tau)^c+1}$  & $\tau$ &
 $\frac{4}{3} \tau^2/c^2$ \\
   beta-prime  & $\frac{1}{B(p,q)}
\frac{x^{p-1}}{(x+1)^{p+q}}$ & $ \frac{q}{p}\frac{qx-p}{x+1}$ &
$\frac{p}{q}$ &
 $\frac{p (p+q)^2}{q^3 (p+q+1)}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
%\vskip3mm


\medskip

{\bf Příklad 1.} Pro $c \leq 2$ neexistuje konečný rozptyl Fréchetova rozdělení, skórový rozptyl je
$\omega_F^2=\tau^2/c^2.$ Na obrázku~\ref{obr1} nahoře MATLAB%
\footnote{Poznámka redakce. Grafy byly překresleny s pomocí nástrojů Lua, ULua (Universal Lua Distribution, viz \url{https://ulua.io}) a \TeX ového balíčku \textsf{pgfplots}.}
nakreslil
tři hustoty evidentně blízkých rozdělení s
velice odlišnými rozptyly, skórové rozptyly jsou
postupně 0,17, 0,21 a 0,25. Dole máme závislost
obou rozptylů na $c$: $\omega_F^2$ se blíží k
nekonečnu až u~hranice definičního intervalu.

\pgfplotsset{width=\textwidth, height=6cm, compat=newest, /pgf/number format/use comma, legend style={draw=none}, no markers}

\begin{figure}[!hbt] \centering
%\includegraphics[width=8cm]{VARFRf.jpg}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=0, xmax=6, enlargelimits=false, ymin=-0.05, ymax=1.05, smooth, title={Fréchet, $f(x)$}, ytick distance=0.2, legend pos=north east, legend style={xshift=-1cm, yshift=-1cm}, y tick label style={/pgf/number format/.cd, fixed, fixed zerofill, precision=1, /tkz/.cd}, cycle list name=mallist]
\addplot+ table [x index=0, y index=1, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl1.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=2, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl1.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=3, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl1.txt};
\legend{$\sigma^2=3{,}23$, $\sigma^2=7{,}85$, $\sigma^2=\infty$\phantom{{,}0}};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
%
\bigskip

%\includegraphics[height=3.5cm,width=6cm]{FRECHVAR.jpg}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=0, xmax=6, enlargelimits=false, ymin=0, ymax=8, smooth, title={Fréchet, závislost na $c$}, ytick distance=1, legend pos=north east, legend style={xshift=-1cm, yshift=-1cm}, y tick label style={/pgf/number format/.cd, fixed, fixed zerofill, precision=0, /tkz/.cd}, cycle list name=mallist]
\addplot+ table [x index=0, y index=2, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl2.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=1, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl2.txt};
\legend{$\var_S X$, $\var X$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\caption{Podobné hustoty Fréchetových
rozdělení s~velmi různými rozptyly. Spodní obrázek
závislost $\var X$ a $\Var_S X$ na rostoucím $c$.}
\label{obr1}
\end{figure} %\vskip3mm


\vskip3mm

{\bf Příklad 2.} Jak už bylo (mírně
nepřesně) řečeno, Kovanicova \uv{fidelity} je
úměrná hustotě a~\uv{irrelevance} skórové
funkci loglogistického rozdělení. Typická hodnota
(score mean) je Kovanicova ideální hodnota, míra
variability, zde $\omega_F^2=\frac{4}{3}\tau^2/c^2$, je v
gnostické teorii jiná. 
\vskip3mm


Poznamenejme, že  Fréchetovo i~loglogistické
rozdělení mají strukturní parametr
$\tau=\exp(\mu)$,  který je projekcí modu $\mu$
prototypu. Parametr $c$ se transformuje podle
$$\frac{y-\mu}{\sigma} \to \frac{\log x - \log
\tau}{\sigma}=\log\left(\frac{x}{\tau}\right)^c.$$ Je patrné,
že $1/c$ rozdělení na ${\cal R}^+$ lze považovat
za parametr měřítka. \vskip3mm



{\bf Příklad 3.}  Beta-prime $BP(p,q)$ na ${\cal R}^+$ je
příkladem rozdělení druhého typu -- těch,
která mají typickou hodnotu vyjádřenou funkcí
(často poměrem) parametrů. Hustoty a~skórové
funkce $BP(2p,p)$ viz obr.~\ref{obr2}. Skórové funkce jsou
omezené tak jako i~u~jiných rozdělení s
těžkými chvosty, což je z~hlediska odhadů
slibné.

\pgfplotsset{width=\textwidth, height=60mm} 
\begin{figure}[!hbt] \centering
%\includegraphics[height=3.5cm,width=6cm]{ISRbetaf.jpg}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=0, xmax=10, enlargelimits=false, ymin=0.0, ymax=0.4, smooth, title={$BP(2p,p)$, $f(x)$}, ytick distance=0.1, legend pos=north east, legend style={xshift=-5mm, yshift=-5mm}, y tick label style={/pgf/number format/.cd, fixed, fixed zerofill, precision=1, /tkz/.cd}, cycle list name=mallist]
\addplot+ table [x index=0, y index=1, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3a.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=2, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3a.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=3, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3a.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=4, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3a.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=5, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3a.txt};
\legend{$p=2$, $p=3$, $p=4$, $p=5$, $p=7$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\medskip

\pgfplotsset{width=\textwidth, height=60mm} 
%\includegraphics[height=3.5cm,width=6cm]{ISRbetaS.jpg}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xmin=0, xmax=10, enlargelimits=false, ymin=-3, ymax=1.6, smooth, title={$BP(2p,p)$, $S_F(x)$}, ytick distance=1, legend pos=north east, legend style={xshift=-5mm, yshift=-13mm}, y tick label style={/pgf/number format/.cd, fixed, fixed zerofill, precision=0, /tkz/.cd}, cycle list name=mallist]
\addplot+ table [x index=0, y index=1, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3b.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=2, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3b.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=3, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3b.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=4, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3b.txt};
\addplot+ table [x index=0, y index=5, mark=none] {zdrojaky/fabian/data/vysl3b.txt};
\legend{$\omega^2_F=4{,}5$, $\omega^2_F=3{,}3$, $\omega^2_F=2{,}7$, $\omega^2_F=2{,}1$, $\omega^2_F=1{,}5$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
%
\caption{Hustoty a~skórové funkce rozdělení
$BP(2p,p)$.}%
\label{obr2}
\end{figure} %\vskip3mm






\subsection{Odhady}

Jsou-li data $(x_1,\ldots{}x_n)$ z~rozdělení
$F(x;\mbox{\boldmath$\theta_0$})$, je možné
 $\mbox{\boldmath$\theta$}_0 \in \Theta^m$
odhadovat pomocí  $S_F(x;\mbox{\boldmath$\theta$})$, i~když
je tato scalar-valued, a~to zobecněnou momentovou (SM) metodou
\cite{6} z~rovnic
\begin{equation}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_F^k(X_i;\mbox{\boldmath$\theta$}) =
\EE S_F^k(\mbox{\boldmath$\theta$}), \hskip5mm k=1,\ldots{},m. \label{IM}
\end{equation}
  Momenty $\EE S_F^k$ jsou podle (\ref{MOM}) a~(\ref{MOM2})
  konečné. SM odhady sice nejsou většinou eficientní, zato
však jsou pro rozdělení s~těžkými chvosty
robustní pro všechny komponenty vektoru
$\mbox{\boldmath$\theta$}$. A~neomezenou skórovou funkci lze v
(\ref{IM}) poměrně snadno huberizovat, což je v~ML
metodě obtížné až nemožné
(spočítat momenty useknuté funkce ale taky není
úplně triviální).

Pro rozdělení $F(x;x^*)$ s~explicitně
vyjádřeným $x^*$ najdeme jeho odhad  z~první z~rovnic (\ref{IM})
\begin{equation} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_F(x_i;{\widehat x}^*) = 0. \label{nula}
\end{equation}
Je-li $x^*$ strukturním parametrem, je odhad ML odhadem \cite{6}.
Pro beta-prime  a~loglogistické rozdělení má
rovnice (\ref{nula}) tvar
$$\sum_{i=1}^n \frac{x_i-x_{BP}^*}{x_i+1}=0, \hskip1cm \sum_{i=1}^n
\frac{x_i-x_{LL}^*}{x_i+x_{LL}^*}=0.$$  Pro beta-prime je ten
odhad
 de facto zobecněným ML odhadem typické hodnoty $x^*=p/q$, \uv{Kovanicovo ML} je třeba
spočíst iteračně.

 Výběrová typická hodnota rozdělení
s~lineární scalar-valued skórovou funk\-cí
(normální, gamma, beta) je aritmetický průměr,
lognormálního rozdělení geometrický průměr a~Fréchetova či
Paretova rozdělení harmonický průměr \cite{7}. Naopak, zvolený
typ průměru vlastně implikuje
předpokládané rozdělení datového souboru.

\section{Závěrem}

Každá spojitá náhodná veličina $X$
má kromě hustoty $f(x)$, popisující relativní
pravděpodobnost $x$ vzhledem k~ostatním hodnotám,
také skórovou (vlivovou) funkci popisující
relativní vliv pozorované hodnoty $x$ na konstrukci typické
hodnoty $F$, váhovou funkci vyjadřující relativní
váhu $x$, vzdálenost bodů ve výběrovém
prostoru generovanou danou pravděpodobnostní mírou, a
nové numerické charakteristiky: místo střední
hodnoty a~rozptylu, které nemusí v~případech
rozdělení s~těžkými chvosty existovat,
máme konečnou typickou hodnotu a~konečný
skórový rozptyl.

Nabízí se samozřejmě využití
skalární skórové funkce v~řadě
dalších úloh, viz třeba \cite{9}. Skórová
korelace a~lineární regrese \cite{10,11} nabízejí
alternativu k~metodám robustní statistiky. Zdá se,
že jsou dobře použitelné jak pro data z
rozdělení s~těžkými chvosty, tak (zejména)
pro data z~rozdělení velmi nesymetrických a
špičatých. Zatímco skórová vzdálenost
typické hodnoty a~jejího odhadu je pro rozdělení s
jedním strukturním parametrem Raova vzdálenost \cite{8},
vzájemná vzdálenost rozdělení na
základě čtverce rozdílu skórových
funkcí \cite{12} je v~rodině divergencí novinkou.
Praktické využití má zatím jen robustní
verze Hillova estimátoru extremal value indexu \cite{13,14}.

%Na rozdíl od teorie odhadu je teorie založená na \uv{skalárech} myšlenkově konzistentní a~nevede k absurditám objevujícím se v~klasické statistice (\uv{Cauchyho rozdělení nemá střední hodnotu} aj.).

Teorie založená na skalar-valued funkcích je, Honzo, možný alternativní postup opomenutý klasickou statistikou, patrně z~důvodu ohromujícího úspěchu metody maximum-likelihood.
Zda bude užitečná v~praxi, se teprve ukáže. %, čímž končím své dvě vysvětlivky k~Honzově písni.

A dík za písničku, která mě mimo jiné i donutila k sepsání článku v~rodném jazyce.



\selectlanguage{english}%
\def\refname{Reference}
%\bibliographystyle{amsplain}
\begin{thebibliography}{24} %%\vskip3mm

\bibitem{1}
%{K2} 
Kovanic, P. (1986). A~new theoretical and  algorithmical
tool  for  estimation,  identification  and  control. {\it
Automatica} {\bf 22}, 657--674.

\bibitem{2}
%{Stig} 
Stigler, S.\,M. (1977). Do robust estimators work with real
data? {\it Annals of Statistics}, {\bf 5}, 1055--1098.

\bibitem{3}
%{Fab97} 
Fabián, Z. (1987). On the relation between gnostical
and  probability theory.  {\it Kybernetika}, {\bf 33}, 259--270.

\bibitem{4}
%{CT}  
Cover, T.\,M. and  Thomas, J.\,A. (2006). {\it Elements of
Information Theory}, second edition, Wiley, New York.

\bibitem{5}
%{F01} 
Fabián, Z. (2001). Induced cores and their use in
robust parametric estimation. {\it Communs.  Stat. Theory
Methods}, {\bf 30}, 537--556.

\bibitem{6}
%{Fab16}  
Fabián, Z. (2016). Score function of
distribution and revival of the moment method. {\it Communs. Stat.
Theory Methods}, {\bf 45},  1118--1136.

\bibitem{7}
%{Fab19}
Fabián, Z. (2021). Mean, mode or median? The score mean. {\it
Communs. Stat. Theory Methods}, {\bf 50}, 2360--2370.

\bibitem{8}
%{Fab22} 
Fabián, Z. (2022). A~measure of variability within
parametric families of continuous distributions. {\it Communs.
Stat. Theory Methods},
\url{https://doi.org/10.1080/03610926.2022.2155792}.
%doi.org/10.1080/03610926.2022.2155792.{F08a}

\bibitem{9}
%{Comp} 
Fabián, Z. (2011).  A~New Statistical Tool: Scalar Score
Function. {\it Computer Technology and Application}, {\bf 2},
109--116. ISSN 1934-7332.

\bibitem{10}
%{Fab10b}  
Fabián, Z. (2010). Score correlation.
 {\it Neural Network World}, {\bf 20},
793--798.

\bibitem{11}
%{Ste1R} 
Stehlík, M. et al.
(2019). On ecological aspects of dynamics for zero slope
regression for water pollution in Chile. {\it Stochastic Analysis
and Applications,}  {\bf 37}, 574--601.

\bibitem{12}
%{F03} 
Fabián, Z., Vajda, I. (2003). Core functions and core divergences
of regular distributions. {\it Kybernetika}, {\bf 39}, 29--42.

\bibitem{13}
%{F08b} 
Fabián, Z., Stehlík, M. (2009). On robust and distribution
sensitive Hill-like method. {\it Tech. Rep. of IFAS Research
Paper Series}, {\bf 43}, 4--14.

\bibitem{14}
%{S2} 
Jordanova, P. et al. (2016). Weak properties and robustness of t-Hill
estimators.
  {\it  Extremes}, {\bf 19},
  591--626.

\end{thebibliography}
%\vskip3mm






%\end{document}

