\gdef\mujnazevCS{Dvě poznámky k Honzově písničce}
\gdef\mujnazevEN{Two notes on Honza's song}
\gdef\mujnazevPR{\mujnazevCS}
\gdef\mujnazevDR{\mujnazevEN}
\gdef\mujauthor{Zdeněk Fabián}

\bonushyper

\nazev{\mujnazevCS}

\nazev{\mujnazevEN}

\author{\mujauthor}

\Adresa{Ústav informatiky, Pod vodárenskou
věží 2, Praha 8}

\Email{zdenek@cs.cas.cz}

\Abstrakt{V článku popisuji cestu k nové
metodě inference založené na zjištění,
že ke každé spojité náhodné
veličině lze přiřadit náhodnou veličinu s
významem relativního vlivu pozorování na
konstrukci typické hodnoty rozdělení. Odtud plyne
nový popis standardních rozdělení, snadno
zobecnitelný pro parametrická rozdělení a
použitelný pro řešení statistických
úloh.}

\KlicovaSlova{Kovanic, skaláry, skalární
skórová funkce}

\Abstract{In the paper the way to a new paradigma in
probabilistic and statistical reasoning is described. The new paradigma is based on a finding that
a scalar-valued score random variable expressing relative
influence of items generated from the distribution of $X$ with
respect to its typical value can be assigned to any continuous univariate random variable $X$.
The approach leads to a new description of standard distributions.
The methodology is generalized for parametric
families and used for solutions of some estimation problems.}

\KeyWords{Kovanic, scalars, scalar-valued score function}.

\bigskip

%\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage{latexsym}
%\usepackage{ntheorem}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\section{Úvod}

\uv{Co teď čtete, pane Werichu?} \uv{Teď, pane
Horníčku, Švejka.} \uv{Poprvé?} \uv{To ne, ale
teď poprvé s vysvětlivkama ... Jsou delší
než celá kniha.}

Tolik nepřesná citace. Já mám k Honzově
 dílku pouze dvě: k jednomu pojmu
mladším asi neznámému a k jednomu taky
nepřesnému. Písnička je to ovšem
pěkná.

\section{Kovanic}

Když jsem před  mnoha lety zapustil kořeny v
Ústavu Informatiky AV (jmenovalo se to tehdy Centrální
výpočetní středisko AV) se zadáním
založit knihovnu programů pro analýzu signálů,
řekla mi má nová šéfová OK (Olga
Kufudaki): \uv{OK. Když umíš ty seismický vlny,
vemu tě do Ústavu fyziologických regulací, tam
mají časových ržad to budeš koukat.} A jednou
později: \uv{Deme se podívat na Kovanice. Skládá
data podle teorie relativity.}

Kovanicova gnostická teorie \cite{1}, deklarovaná jako alternativa
ke statistice, pracovala s kladnými daty pomocí
podivuhodných fyzikálních postupů. Data se
prezentovala svou \uv{fidelity} a \uv{irrelevancí}. Tou dobou
vrcholil boom robustních odhadů. Nové metody se
testovaly na známých Stiglerových datech \cite{2} z
historických měření fyzikálních
veličin.  Kovanicovy \uv{gnostické} odhady se ukázaly
být nejblíže v současnosti známým
hodnotám.

Nevím, co si o tom mysleli statistici, ale na Kovanicovy
přednášky a následné diskuse už nechodili.
Já se zrovna zabýval tzv. \uv{mrkací} časovou
řadou, registrovanou  při relaxaci a při
duševní činnosti. Programy si s ní neporadily,
protože každý proband občas narušil svou
mrkací frekvenci a chvilku zíral  bez mrknutí.
Naprogramoval jsem si adaptaci Kovanicových odhadů na
časové řady a ejhle, spektra dostala smysl. Už ani
nevím, zda v~nich fyziologové něco objevili; já
jsem objevil, že Kovanic nepodvádí a
 že na  jeho odhadech asi něco je.

Tak jsem si četl Kovanicovy práce pořád dokola a
pátral po něčem  podobném v učebnicích
statistiky. \v{C}asem jsem pochopil: Kovanic vkládá data
do své irrelevance, funkce, kterou jsem ani v teorii
pravděpodobnosti ani v~matematické statistice
nenašel.

Po delším čase jsem publikoval článek \cite{3} o
tom, že Kovanicova \uv{fidelity} je pravděpodobnostní
hustota loglogistického rozdělení a \uv{irrelevance}
něco jako věrohodnstní funkce,
příslušná ne parametru, ale přimo tomu
rozdělení. Zhruba řečeno, Kovanicova teorie je
v~zásadě teorie jednoho, v tehdejší době asi
nepříliš používaného
pravděpodobnostního rozdělení.
Rozdělení, které je pro kladná data velmi
šikovné. Zmíněná funkce je omezená (proto
jsou odhady robustní) a velice nesymetrická (a proto jsou
odpovídající odhady lepší než
většina robustních odhadů založených na
symetrických omezených funkcích).  Těžko
uvěřit, že tato  funkce v teorii
pravděpodobnosti i matematické statistice chyběla.
Přesněji, v teorii pravděpodobnosti chyběla
úplně, ve
 statistice je v některých
případech identická s Fisherovou skórovou
funkcí pro centrální parametr. Ta je však
definována pouze pro parametrická rozdělení a
rozpadá se při vektorovém parametru do několika
větví (důsledkem čehož je třeba to,
že ve výběrovém prostoru  je obtížné
definovat vzdálenost bez pomoci matic). Irrelevance fungovala
i bez parametrů.

Ukázalo se, že Kovanicova volba výběrového
prostoru na kladné části reálné osy je
podstatná. Funkce, jejíž smysl je shodný s
Kovanicovou irrelevancí, je  pro rozdělení na celé
reálné ose dávno známá jako skórová
funkce. Známá, ale nepoužívaná ze
zřejmého důvodu: dosadíme-li do jejího vzorce
hustotu rozdělení definovaného jen na části
reálné osy, dostaneme cosi nesmyslného. Třeba pro
rovnoměrné rozdělení nulu.

\section{Skaláry}

\subsection{Skórová funkce}


 Teď už o statistice. Buď $Y$ náhodná veličina se spojitým rozdělením
  s~nosičem ${\cal R}$ (\uv{na
 ${\cal R}$}), pro jednoduchost s unimodální
 spojitě diferencovatelnou hustotou
 $g(y)$. Její {\it skórová funkce} je
 \begin{equation} S_G(y) =-\frac{g'(y)}{g(y)}. \label{score}
\end{equation}
 Pro  rodinu rozdělení s parametrem polohy $G(y-\mu), \mu
\in {\cal R}$, je skórová funkce fundamentální
funkcí klasické statistiky, Fisherovým skórem pro
$\mu$,
\begin{equation} S_G(y-\mu)=\frac{\partial}{\partial \mu} \log
g(y-\mu). \label{eq}
\end{equation}
Odhad $\mu$ z dat $y_1,...,y_n$, realizací náhodných
veličin $(Y_1,...,Y_n)$ s rozdělením  $G(y-\mu)$ s
neznámým $\mu$  z rovnice
\begin{equation}
 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_G(y_i- \mu)=0. \label{lik} \end{equation}
 je eficientní a tedy asymptoticky nejlepší. Pro
$\mu=0$ je (\ref{score}) nepochybně funkcí
charakterizující samotné rozdělení.

Co ale když má rozdělení těch parametrů
víc?

R. A. Fisher před sto lety zobecnil rovnici (\ref{lik}) pro
vektorový parametr
$\mbox{\boldmath$\theta$}=(\theta_1,\ldots,\theta_m)$ na soustavu
$m$ rovnic
\begin{equation} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}
U_j(y;\mbox{\boldmath$\theta$}) = 0 \hskip5mm j=1,...,m,
\label{ML} \end{equation} kde funkce
$U_j(y;\mbox{\boldmath$\theta$})=\frac{\partial}{\partial
\theta_j}
   \log f(x;\mbox{\boldmath$\theta$})$
jsou dnes známé jako Fisherovy skóry.
\v{R}ešením soustavy rovnic (\ref{ML}) získáme
maximálně věrohodné (maximum likelihood: ML)
odhady $({\hat \theta}_1,...,{\hat \theta}_m)$, asymptoticky
normální, eficientní takže nejlepší,
ovšem jen když data nejsou kontaminována.

Pro tento častý případ dosadil do (\ref{lik}) P.
J. Huber, model nemodel,
 omezenou funkci (které se bohužel taky říká score function) a nějaký těch  \uv{ulítlých}
pozorovaní si robustní odhady ani nevšimnou.

Ale co když na svém modelu z nějakých
důvodů trváme?

Napadlo mne se blíže podívat na skórovou funkci
(řekněme v užším slova smyslu) (\ref{score}).
Ukázalo se, že má úžasné vlastnosti:

a/ Podle chování $S_G(y)$ v plus minus nekonečnu je na
${\cal R}$ pouhých 6 typů rozdělení (viz Tabulka
1).

b/ Momenty \begin{equation} ES^k_G(Y)=\int_{\cal X} S_G^k(y) f(y)
\; dy \label{MOM} \end{equation} jsou pro $k \in {\cal N}$
konečné (je-li $S_G$ omezená je to zřejmé,
hustoty rozdělení s neomezenou sórovou funkcí
rychle klesají k nule).

c/ Za typickou hodnotu lze vzít mód $y^*: S_G(y^*)=0.$

d/ $ES_G^2$ se v \cite{4} považuje za Fisherovu informaci
rozdělení $G$. \vskip3mm

Kupodivu,  není o ní v její čisté podobě
(\ref{score})  v teorii pravděpodobnosti a ve statistice ani
vidu ani slechu. Důvod je jasný. Pro rozdělení
definované na otevřeném intervalu ${\cal X} \neq {\cal
R}$ vzorec ({\ref{score}) generuje nesmysly. Kupříkladu
pro rovnoměrné rozdělení nulu.

Ale Kovanic na polopřímce nějakou skórovou funkci
má. Jenže jeho postup pro jiná rozdělení
nefunguje.

\subsection{Skórová funkce na intervalu a polopřímce}

Nakonec mi to došlo. Jak se dostaneme z prostoru A do
prostoru B? V~životě  všelijak, v matematice
transformací. \vskip2mm

Buď ${\cal X} \subseteq {\cal R}$ otevřený interval a
$\eta: {\cal X} \to {\cal R}$ rostoucí spojitá a
diferencovatelná. Uvažjme náhodnou veličinu $Y$ na
${\cal R}$ a říkejme jejímu rozdělení $G$ s
hustotou $g(y)$ na  prototyp. Transformovaná náhodná
veličina
\begin{equation} X=\eta^{-1}(Y) \label{RV} \end{equation} má  rozdělení
$F(x)=G(\eta(x))$ s hustotu
\begin{equation}
 f(x)=g(\eta(x)) \eta'(x). \label{traf} \end{equation}
 A {\it skórová funkce} na ${\cal R}^+$ bude, logicky,
  transformovanou skórovou funkcí prototypu \cite{4}:
\begin{equation} S_F(x)=S_G(\eta(x)).
\label{tscor} \end{equation} Transformované logistické
rozdělení pro $\eta(x)=\log x$ je loglogistické a jeho
$S_F(x)$ je ta Kovanicova irrelevance \cite{5}.

Místo (\ref{tscor}) lze psát
\begin{equation} S_F(x)=-\frac{1}{f(x)}\frac{d}{dx}
 \left[\frac{1}{\eta'(x)}
f(x)\right], \label{tscore}
\end{equation}
ježto podle (\ref{score}) a (\ref{traf})
 $$S_F(x)=-\frac{1}{g(\eta(x)) \eta'(x)}
 \frac{d}{dx}g(\eta(x))=-\frac{g'(\eta(x))}{g(\eta(x)}=S_G(\eta(x))$$
 a
skórová funkce rozdělení na  ${\cal X}$
nezávisí na prototypu.

Závisí však  na té transformaci. Ale tu si
nevolíme. Většinou je z (\ref{traf}) \uv{vidět} $g$
nebo ten Jakobian. Pro $\eta:{\cal R} \to {\cal R}$ vždycky.
Pro
 ${\cal X} \neq {\cal R}$ to může být vidět:
rozdělení
 na ${\cal X}=(\pi/2,\pi/2)$ s hustotou
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cos^2 x} e^{-\frac{1}{2} \tan^2 x}$$
má jistě za prototyp  Gaussovo rozdělení a
$\eta(x)=\tan x$. \uv{Vidět} to ale být nemusí, a tehdy
je nejlépe p\v{re}dpokládat, že
$$\eta(x) =\left\{\begin{array}{cll}
\log (x-a) & \hskip1cm {\rm pro} & {\cal X}=(a,\infty)
\\ \log \left( \frac{ \textstyle x-a }{ \textstyle b-x} \right)
 & \hskip1cm {\rm pro} & {\cal X}=(a,b),
\end{array}
\right. $$ neb ji má většina běžně
užívaných rozdělení.  $S_F$ je
jednoznačná \cite{6}.

{\it Typickou hodnotou} $x^*$ rozdělení $F$ s
unimodálním prototypem je  $x^*:  S_F(x^*)=0,$ což je
podle (\ref{RV}) projekce módu prototypu: $x^*=\eta^{-1}
(y^*)$. Není to obecně ani střední hodnota, ani
mód, ani medián. Se střední hodnotou je
identická pro $F$ s lineární skórovou funkcí,
což je rozdělení Gaussovo $(S_F(x)=x)$,
exponenciální $(S_F(x)=x-1)$ a rovnoměrné
($S_F(x)=2x-1$). Vlastnosti $x^*$ (kterému říkám
{\it score mean}) viz \cite{7}.

Skórové momenty $F$ jsou podle (\ref{MOM}) a (\ref{tscor})
\begin{equation} ES_F^k=\int_{\cal X} S_G^k(\eta(x)) g(\eta(x) \; dx=
ES_G^k. \label{MOM2} \end{equation} Speciálně, $ES_F=0.$
Za míru variability rozdělení $F$ lze považovat
{\it skórový rozptyl}
\begin{equation} \omega_F^2 \equiv Var_S X=
 \frac{ES_F^2}{[S'_F(x^*)]^2}.   \label{Vary} \end{equation}
Důvody pro tuto volbu viz \cite{8}.

Funkci
\begin{equation} w_F(x)=S'_F(x)=\frac{dS_F(x)}{dx}, \label{weight}
\end{equation} lze interpretovat \cite{7} jako váhovou funkci rozdělení $F$.
 Vzdálenost bodů $x_1,x_2 \in {\cal
X}$ lze rozumně definovat jako
 $d_F(x_1,x_2)=|\delta_F(x_1,x_2)|$
 kde
 \begin{equation} \delta_F(x_1,x_2)=\frac{S_F(x_2)-S_F(x_1)}{S'_F(x^*)}
 =\frac{1}{w_F(x^*)} \int_{x_1}^{x_2} w_F(x)f(x) \;
 dx. \label{delta} \end{equation}
Tím  je jednoznačně přiřazena metrika (či
pseudometrika) ve výběrovém prostoru, indukovaná
pravděpodobnostní mírou reprezentovanou
distribuční  funkcí $F$, viz \cite{8}.

  V Tabulce 2 uvádím hustoty,
skórové a váhové funkce na ${\cal R}^+$
transformovaných  prototypů z Tabulky 1 při
$\eta(x)=\log x$ (bez log-Cauchy, to má příliš
těžký chvost). Jsou stejného typu jako jejich
prototypy. \vskip3mm


\subsection{Centrální limitní věta pro
skórové náhodné veličiny}

Jsou-li $X_1,...,X_n$ nezávislé náhodné
veličiny na ${\cal X}$ s rozdělením
  $F$ a skórovou funkcí $S_F(x)$, jsou nezávislé i náhodné
veličiny $S_F(X_1),...,S_F(X_n)$. Buď
$${\bar S}_F=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_F(X_i).$$

 {\bf Věta.} Pro $n \to \infty$ je
$ \sqrt{n} {\bar S}_F \stackrel{{\cal D}}{\longrightarrow} {\cal
N}(0,ES_F^2).$ \vskip3mm

{\it Důkaz.} Ježto  $ES_F=0$ a $ES_F^2$ je
konečná, věta platí podle Lindebergovy-Lévyho
centrální limitní věty. \vskip3mm

Když se tedy \uv{pracuje} se skórovými náhodnými
veličinami, není  nutno (teoreticky) rozlišovat
rozdělení \uv{obyčejná} a s
těžkými chvosty (heavy-tailed).


\subsection{Skalární skórová funkce
parametrických rozdělení}

Vra\v{t}me se k funkci (\ref{tscore}). Je asi už patrné,
jak je možné ji jednoduše zobecnit pro $F$ s
vektorovým parametrem. Takto:
 \begin{equation} S_F(x;\mbox{\boldmath$\theta$}) =
-\frac{1}{f(x;\mbox{\boldmath$\theta$})} \frac{d}{dx}
\left[\frac{1}{\eta'(x)} f(x;\mbox{\boldmath$\theta$})\right].
\label{cross}
\end{equation}
(Pro parametrická rozdělení je ve vzorci
přídavný konstantní člen, aby $E_F^2$ byla pro
Fisherova informace, viz Fabián (2016, 2019)).

Ač je $\mbox{\boldmath$\theta$}$ vektor, skórová
funkce (funkce, Honzo) je skalární (\uv{scalar-valued}). A
nejen to: v (\ref{cross}) se derivuje pouze podle
proměnné, takže všechny výš}e uvedené
vzorce platí i pro parametrická rozdělení.
Několik takových s těžkými chvosty
uvádím  v Tabulce 3.\vskip3mm

{\bf Příklad 1.} Rozptyl Fréchetova rozdělení
neexistuje pro $c \leq 2$ , skórový rozptyl je
$\omega_F^2=\tau^2/c^2.$ Na obrázku 1 vlevo MATLAB nakreslil
tři hustoty evidentně blízkých rozdělení s
velice odlišnými rozptyly, skórové rozptyly jsou
postupně 0.17, 0.21 and 0.25. Vpravo máme závislost
obou rozptylů na $c$: $\omega_F^2$ se blíží k
nekonečnu až u okraje definičního intervalu.
\vskip3mm

{\bf Příklad 2.} Jak už bylo (mírně
nepřesně) řečeno, Kovanicova \uv{fidelity} je
úměrná hustotě a \uv{irrelevance} skórové
funkci loglogistického rozdělení. Typická hodnota
(score mean) je Kovanicova ideální hodnota, míra
variability, zde $\omega_F^2=\frac{4}{3}\tau^2/c^2$, je v
gnostické teorii jiná. \vskip3mm


Poznamenejme, že  Fréchetovo i loglogistické
rozdělení mají strukturní parametr
$\tau=\exp(\mu)$,  který je projekcí módu $\mu$
prototypu. Parametr $c$ se transformuje podle
$$\frac{y-\mu}{\sigma} \to \frac{\log x - \log
\tau}{\sigma}=\log\left(\frac{x}{\tau}\right)^c.$$ Je patrné,
že $1/c$ rozdělení na ${\cal R}^+$ lze považovat
za parametr měřítka. \vskip3mm

{\bf Příklad 3.}  Beta-prime $BP(p,q)$ na ${\cal R}^+$ je
příkladem rozdělení druhého typu -- těch,
která mají typickou hodnotu vyjádřenou funkcí
(často poměrem) parametrů. Hustoty a skórové
funkce $BP(2p,p)$ viz obr. 3. Skórové funkce jsou
omezené tak jako i u jiných rozdělení s
těžkými chvosty, což je z hlediska odhadů
slibné.

\subsection{Odhady}

Jsou-li data $(x_1,...x_n)$ z rozdělení
$F(x;\mbox{\boldmath$\theta_0$})$, je možné
 $\mbox{\boldmath$\theta$}_0 \in \Theta^m$
odhadovat pomocí  $S_F(x;\mbox{\boldmath$\theta$})$, i když
je tato scalar-valued, a to zobecněnou momentovou (SM) metodou
\cite{6} z rovnic
\begin{equation}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_F^k(X_i;\mbox{\boldmath$\theta$}) =
ES_F^k(\mbox{\boldmath$\theta$}), \hskip5mm k=1,...,m, \label{IM}
\end{equation}
  momenty $ES_F^k$ jsou podle (\ref{MOM}) a (\ref{MOM2})
  konečné. SM odhady sice nejsou většinou eficientní, zato
však jsou pro rozdělení s těžkými chvosty
robustní pro všechny komponenty vektoru
$\mbox{\boldmath$\theta$}$. A neomezenou skórovou funkci lze v
(\ref{IM}) poměrně snadno huberizovat, což je v ML
metodě obtížné až nemožné
(spočítat momenty useknuté funkce ale taky není
úplně triviální).

Pro rozdělení $F(x;x^*)$ s explicitně
vyjádřeným $x^*$ najdeme jeho odhad  z~první z~rovnic (\ref{IM})
\begin{equation} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n S_F(x_i;{\hat x}^*) = 0. \label{nula}
\end{equation}
Je-li $x^*$ strukturním parametrem, je odhad ML odhadem \cite{6}.
Pro beta-prime  a loglogistické rozdělení má
rovnice (\ref{nula}) tvar
$$\sum_{i=1}^n \frac{x_i-x_{BP}^*}{x_i+1}=0, \hskip1cm \sum_{i=1}^n
\frac{x_i-x_{LL}^*}{x_i+x_{LL}^*}=0.$$  Pro beta-prime je ten
odhad
 de facto zobecněným ML odhadem typické hodnoty $x^*=p/q$, \uv{Kovanicovo ML} je třeba
spočíst iteračně.

 Výběrová typická hodnota rozdělení
s lineární scalar-valued skórovou funkcí
(normální, gamma, beta) je aritmetický průměr,
lognormálního rozdělení geometrický průměr a Fréchetova či
Paretova rozdělení harmonický průměr \cite{7}. Naopak, zvolený
typ průměru vlastně implikuje
předpokládané rozdělení datového souboru.

\section{Závěrem}

Každá spojitá náhodná veličina $X$
má kromě hustoty $f(x)$, popisující relativní
pravděpodobnost $x$ vzhledem k ostatním hodnotám,
také skórovou (vlivovou) funkci popisující
relativní vliv pozorované hodnoty $x$ na konstrukci typické
hodnoty $F$, vahovou funkci vyjadřující relativní
váhu $x$, vzdálenost bodů ve výběrovém
prostoru generovanou danou pravděpodobnostní mírou, a
nové numerické charakteristiky: místo střední
hodnoty a rozptylu, které nemusí v případech
rozdělení s těžkými chvosty existovat,
máme konečnou typickou hodnotu a konečný
skórový rozptyl.

Nabízí se samozřejmě využití
skalární skórové funkce v řadě
dalších úloh, viz třeba \cite{9}. Skórová
korelace a lineární regrese \cite{10,11} nabízejí
alternativu k metodám robustní statistiky. Zdá se,
že jsou dobře použitelné jak pro data z
rozdělení s těžkými chvosty, tak (zejména)
pro data z rozdělení velmi nesymetrických a
špičatých. Zatímco skórová vzdálenost
typické hodnoty a jejího odhadu je pro rozdělení s
jedním strukturním parametrem Raova vzdálenost \cite{8},
vzájemná vzdálenost rozdělení na
základě čtverce rozdílu skórových
funkcí \cite{12} je v rodině divergencí novinkou.
Praktické využití má zatím jen robustní
verze Hillova estimátoru extremal value indexu \cite{13,14}].

Na rozdíl od teorie odhadu je teorie založená na
\uv{skalárech} myšlenkově konzistentní a nevede k
absurditám objevujícím se v klasické statistice
(\uv{Cauchyho rozdělení nemá střední hodnotu} aj.).
Zda bude užitečná v praxi  se teprve
ukáže, čímž končím své dvě
vysvětlivky k Honzově písni.


\bibliographystyle{amsplain}
\begin{thebibliography}{24} \vskip3mm

\bibitem{1}
%{K2} 
Kovanic, P. (1986). A new theoretical and  algorithmical
tool  for  estimation,  identification  and  control. {\it
Automatica} {\bf 22}, 657-674.

\bibitem{2}
%{Stig} 
Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real
data? {\it Annals of Statistics}, {\bf 5}, 1055-1098.

\bibitem{3}
%{Fab97} 
Fabián, Z. (1987). On the relation between gnostical
and  probability theory.  {\it Kybernetika}, {\bf 33}, 259-270.

\bibitem{4}
%{CT}  
Cover, T. M. and  Thomas, J. A. (2006). {\it Elements of
Information Theory}, second edition, Wiley, New York.

\bibitem{5}
%{F01} 
Fabián, Z. (2001). Induced cores and their use in
robust parametric estimation. {\it Communs.  Stat. Theory
Methods}, {\bf 30}, 537-556.

\bibitem{6}
%{Fab16}  
Fabián, Z. (2016). Score function of
distribution and revival of the moment method. {\it Communs. Stat.
Theory Methods}, {\bf 45},  1118-1136.

\bibitem{7}
%{Fab19}
Fabián, Z. (2021). Mean, mode or median? The score mean. {\it
Communs. Stat. Theory Methods}, {\bf 50}, 2360-2370.

\bibitem{8}
%{Fab22} 
Fabián, Z. (2022). A measure of variability within
parametric families of continuous distributions. {\it Communs.
Stat. Theory Methods},
doi.org/10.1080/03610926.2022.2155792.{F08a}

\bibitem{9}
%{Comp} 
Fabián, Z. (2011).  A New Statistical Tool: Scalar Score
Function. {\it Computer Technology and Application}, {\bf 2},
109-116. ISSN 1934-7332.

\bibitem{10}
%{Fab10b}  
Fabián, Z. (2010). Score correlation.
 {\it Neural Network World}, {\bf 20},
793-798.

\bibitem{11}
%{Ste1R} 
Stehlík, M. et al.
(2019). On ecological aspects of dynamics for zero slope
regression for water pollution in Chile. {\it Stochastic Analysis
and Applications,}  {\bf 37}, 574-601.

\bibitem{12}
%{F03} 
Fabián, Z., Vajda, I. (2003). Core functions and core divergences
of regular distributions. {\it Kybernetika}, {\bf 39}, 29-42.

\bibitem{13}
%{F08b} 
Fabián, Z. and Stehlík, M. (2009). On robust and distribution
sensitive Hill-like method. {\it Tech. Rep. of IFAS Reasearch
Paper Series}, {\bf 43}, 4-14.

\bibitem{14}
%{S2} 
Jordanova, P. et al. (2016). Weak properties and robustness of t-Hill
estimators.
  {\it  Extremes}, {\bf 19},
  591-626.

\end{thebibliography}
\vskip3mm

\begin{table}
\caption{$S_G$: nejjednodušší skórové funkce
typu N neomezená, O omezená, E exponenciální, P
polynomiální, R redescentní. $g$ je
příslušná hustota z (\ref{score})} \centering
\vskip3mm
\begin{tabular}{clcl} \hline  $S_G(y)$ &  typ & $g(y)$ & rozdělení
 \\ \hline $\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ & NE &
$\frac{1}{2K_0(1)} e^{-\cosh y}$  & hyperbolic
\\ $y$ & NP & $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
e^{-\frac{1}{2} y^2}$ & normal \\
 $e^y-1$ & ON &  $e^y e^{-e^y}$  & Gumbel    \\
 $1-e^{-y}$ &  NO &  $ e^{-y}e^{-e^{-y}}$ &  extreme value   \\
 $\frac{e^y-1}{e^y+1}$ & OO  & $\frac{e^y}{(1+e^y)^2}$ & logistic
\\  $\frac{2 y}{1+y^2}$ & OR  & $\frac{1}{\pi  (1+y^2)}$ &  Cauchy
\\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
\vskip3mm

\begin{table}
\caption{Charakteristiky transformovaných standardních
rozdělení (GIG je Generalized Inverse Gaussian)} \vskip3mm
\centering
\begin{tabular}{llccc} \hline typ  & rozdělení &  $f(x)$ &
$T_F(x)$ & $w_F(x)$
\\ \hline NE & GIG &  $\frac{1}{2K_0(1) x} e^{-\frac{1}{2} (x+1/x)}$
& $\frac{1}{2} (x-1/x)$ & $\frac{1}{2}(1+ 1/x^2)$
\\  NP & lognormal &  $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}x}
e^{-\frac{1}{2}{\log}^2 x}$ & $\log x$ & $1/x$
\\ ON & exponential  & $e^{-x}$ & $x-1$ & 1 \\
ON & Fréchet &  $\frac{1}{x^2} e^{-1/x}$ & $1-1/x$ & $1/x^2$ \\
OO &  loglogistic & $\frac{1}{(x+1)^2}$ & $\frac{x-1}{x+1}$ & $\frac{2}{(x+1)^2}$ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{table}
\vskip3mm

\begin{table}
\caption{Hustoty, skórové funkce, typické hodnoty a
skórové rozptyly několika rozdělení s
těžkými chvosty na ${\cal R}^+$} \vskip3mm
 \begin{tabular}{lcccc} \hline
\hskip0.5cm $F$ & $f(x)$ & $S_F(x)$ & $x^*$ & $\omega_F^2$ \\
\hline
 Fréchet &  $\frac{c}{x} (\tau/x)^c
e^{-(\tau/x)^c}$ & $\frac{c}{\tau}[1-(\tau/x)^c]$
& $\tau$ &  $\tau^2/c^2$ \\
   loglogistic &  $\frac{c}{x}
 \frac{(x/\tau)^c}{[(x/\tau)^c+1]^2}$ &
 $\frac{c}{\tau}
 \frac{(x/\tau)^c-1}{(x/\tau)^c+1}$  & $\tau$ &
 $\frac{4}{3} \tau^2/c^2$ \\
   beta-prime  & $\frac{1}{B(p,q)}
\frac{x^{p-1}}{(x+1)^{p+q}}$ & $ \frac{q}{p}\frac{qx-p}{x+1}$ &
$\frac{p}{q}$ &
 $\frac{p (p+q)^2}{q^3 (p+q+1)}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
\vskip3mm

\begin{figure}[!t] \centering
\includegraphics[height=3.5cm,width=6cm]{VARFRf.jpg}
\includegraphics[height=3.5cm,width=6cm]{FRECHVAR.jpg}
\caption{Podobné hustoty Fréchetových
rozdělení s velmi různými rozptyly. Vpravo
závislost $var X$ and $Var_S X$ na rostoucím $c$}
\end{figure} \vskip3mm

\begin{figure}[!t] \centering
\includegraphics[height=3.5cm,width=6cm]{ISRbetaf.jpg}
\includegraphics[height=3.5cm,width=6cm]{ISRbetaS.jpg}
\caption{Hustoty a skórové funkce rozdělení
$BP(2p,p)$}
\end{figure} %\vskip3mm

%\end{document}

