% !TEX TS-program = LuaLaTeX
% !TEX encoding = UTF-8 Unicode 
% !TEX root = ../../mal-core.tex

\gdef\mujnazevCS{Tři oříšky pro statistiky}
\gdef\mujnazevEN{Three gifts for statisticians}
\gdef\mujnazevPR{\mujnazevCS}
\gdef\mujnazevDR{\mujnazevEN}
\gdef\mujauthor{Ondřej Vencálek}

\bonushyper

\nazev{\mujnazevCS}

\nazev{\mujnazevEN}

\author{\mujauthor}

\Adresa{Katedra matematické analýzy a~aplikací matematiky, PřF, Univerzita
Palackého v~Olomouci, 17. listopadu 12, 771\,46 Olomouc}

\Email{ondrej.vencalek@upol.cz}

\Abstrakt{Článek pojednává o~třech drobných problémech spojených s~analýzou časových řad. 
Všechny tři oříšky nějakým způsobem souvisí s~dobou bohatou na mimořádné události.
První problém se týká tvrzení o~snížení nejistoty hodnoty podílového fondu pomocí pravidelného investování ilustrovaného krajně manipulativním  grafickým znázorněním historie \uv{výkonnosti fondu}. 
Druhý problém upozorňuje na obtíže meziročního srovnání v~současné (v~mnoha ohledech mimořádné) době. Týká se nedávného vývoje objemu \uv{nových hypoték}. 
Třetí problém se týká vývoje míry úmrtnosti. Ukazujeme, jak mimořádná doba (tentokrát první světová válka) o~sto let později \uv{zneplatnila} použití aproximativního výpočtu míry úmrtnosti.}
\smallskip
\KlicovaSlova{oříšek, fond, hypotéka, úmrtnost}

\Abstract{The article discusses three minor (but surprising) problems associated with time series analysis. 
All three problems are somehow related to an emergency-rich era.
The first problem concerns the claim of reducing the uncertainty of the fund's value through regular investing which is illustrated by an extremely manipulative graphical representation of the history of ``fund performance''. 
The second problem draws attention to the difficulties of year-on-year comparisons in the current (in many respects extraordinary) period. It refers to recent developments in the volume of ``new mortgages''. 
The third problem concerns the development of the mortality rates. We show how an extraordinary period (the World War I~in this case) a~hundred years later ``invalidated'' the use of the approximate calculation of the death rate.}
\smallskip
\KeyWords{problem, fund, mortgage, mortality}
\bigskip

\noindent
Když se na počátku roku 2020 začaly objevovat zprávy o~šíření koronavirové infekce v~čínské provincii Wu-chan, málokdo v~České republice si dovedl představit, že již v~březnu dojde u~nás k~uzavření škol a~vyhlášení nouzového stavu. Současná doba (doba od začátku roku 2020) je v~kontextu vývoje nejen České republiky v~posledních desetiletích jistě v~mnoha ohledech mimořádná. To s~sebou nese řadu problémů při analýze nejrůznějších časových řad. Nabízím čtenářům zamyšlení nad několika takovými drobnými problémy (oříšky), se kterými jsem se v~nedávně době setkal. 


\section{První oříšek -- volatilita výnosu fondu}\label{sec01}

Při jedné návštěvě banky jsem byl poučen o~volatilitě výnosnosti podílových fondů a~dostal jsem dobrou radu, jak tuto volatilitu potlačit. Nabízím zde tento \uv{zaručený recept} k~uvážení všem čtenářům. Nejmenovaná banka pro snadné pochopení tohoto receptu nabízí \uv{kalkulátor výkonností podílových fondů}\footnote{Zvídavý čtenář odhalí, o~jakou banku se jedná, když do svého oblíbeného vyhledávače zadá právě tuto čtveřici slov (v~uvozovkách).}. V~něm se klient může snadno přesvědčit, jak výhodnou strategií k~potlačení volatility je pravidelné investování. 

\begin{figure}[!hbt]
	\centering
		\includegraphics[width=1.00\textwidth]{fond.pdf}
	\caption{Vývoj hodnoty investice do nejmenovaného podílového fondu od 1.\,10.\,2015 do 1.\,12.\,2022 při jednorázové investici ve výši 100 tisíc Kč na začátku (vlevo) a~při stejné počáteční investici a~pravidelné měsíční investici 1000 Kč (vpravo). Grafy nahoře používané bankou ukazují, jak pravidelné investování snižuje volatilitu. Grafy dole používající stejné měřítko na svislé ose nejsou pro přesvědčení klienta o~tomto fenoménu vhodné.}
	\label{fig:graf0}
\end{figure}

Představme si, že jsme 1.\,10.\,2015 do nejmenovaného fondu jednorázově investovali 100 tisíc korun. Zapomeňme pro tuto chvíli (i~všechny chvíle další) na poplatek s~tímto úkonem spjatý. Vývoj (nominální) hodnoty investované částy v~následujících letech (až do 1.\,12.\,2022) vidíme na obrázku  
\ref{fig:graf0} vlevo nahoře. Je z~něj patrné, jak velmi hodnota investice v~čase kolísá. Je například patrné, že nominální hodnota investice byla po třech letech stejná jako na začátku. Také vidíme, že po 7 letech se nominální hodnota zvýšila přibližně o~8 procent, což odpovídá výnosu jen něco málo přes 1~\% p.a. Pokud bychom ovšem do tohoto fondu kromě počáteční investice po celou dobu měsíčně investovali 1000 Kč, bude (nominální) hodnota naší investice celkem stabilně růst, viz obrázek~\ref{fig:graf0} nahoře vpravo. 

Na obrázku~\ref{fig:graf0} dole jsou vykresleny stejné časové řady, ovšem se stejným měřítkem na svislé ose. Zatímco při srovnání obrázků v~horní části má člověk v~prvním okamžiku dojem, že pravidelným investováním dochází k~významnému snížení volatility, při pohledu na spodní část obrázku by ho nic takového zřejmě ani nenapadlo. 

Trik (zdánlivého) snížení volatility výnosu fondu můžeme přidat do dlouhého seznamu \uv{optických klamů} založených na různém měřítku porovnávaných grafů. Čtenáři přenecháváme na zvážení, zda by přece jen nenašel nějaký argument obhajující tvrzení o~nižší nejistotě při pravidelném investování.  








\section{Druhý oříšek -- hypotéky}\label{sec02}

\subsection{Meziroční srovnávání v~době mimořádných událostí}

Vývoj nejrůznějších ukazatelů často bývá prezentován v~podobě procentuálního vyjádření meziročního či meziměsíčního růstu, případně poklesu. 
Výhody a~úskalí meziročního, resp. meziměsíčního, srovnání shrnula v~knize \textit{O~složitém jednoduše} Tereza Košťáková \cite{Kostakova}: \uv{Statistici i~ekonomové obvykle přednostně uvádějí meziroční srovnání. Důvod je ten, že většina ukazatelů vykazuje v~průběhu roku sezónnost, která znemožňuje smysluplné porovnání různých období roku navzájem. [...]
Na druhé straně nevýhodou meziročního srovnání je skutečnost, že dané období srovnáváme s~něčím, co už se stalo velmi dávno (před 12 měsíci). Tato srovnávací základna (hodnota ukazatele před rokem) mohla být například mimořádně vychýlena nahoru nebo dolů.}

O~tom, jak opatrně je třeba vnímat informaci o~meziročním poklesu či růstu, svědčí následující příklad. Z~dat České národní banky (ČNB) vyplývá, že ve druhém čtvrtletí roku 2021 zaznamenal objem nově poskytnutých hypotečních úvěrů meziroční pokles o~43~\%. O~jak závažný pokles šlo? Mohlo by se zdát, že situace ve druhém čtvrtletí nebyla vůbec dobrá. Bližší pohled na data však tuto interpretaci jistě poupraví.

Z~grafu na obrázku~\ref{fig:graf1} je patrné, že ve skutečnosti byla situace zcela mimořádná nikoliv v~roce 2021, ale ve druhém čtvrtletí roku 2020, kdy došlo k~extrémnímu krátkodobému zvýšení objemu nově poskytnutých hypotečních úvěrů (kdy objem představoval téměř 416 mld. Kč). Hodnota ze druhého čtvrtletí roku 2021 (237 mld. Kč) je ve skutečnosti druhou nejvyšší hodnotou za sledované období (roky 2013 až 2022). Příčinu výkyvu z~jara 2020 objasníme v~kapitole~\ref{puvod}. 

\begin{figure}[!hbt]
	\centering
		\includegraphics[width=1.00\textwidth]{graf1-new.pdf}
	\caption{Objem nově poskytnutých hypotečních úvěrů v~mil. Kč dle ČNB (čtvrtletní data).}
	\label{fig:graf1}
\end{figure}


Tento příklad názorně ilustruje varování, které Tereza Košťáková v~\cite{Kostakova} vyjádřila následujícími slovy: \uv{U~meziročního srovnání musíme stále po očku sledovat i~to, co se dělo před rokem, abychom správně zhodnotili, do jaké míry meziroční index vypovídá o~současných trendech.} Dodejme, že toto varování nabývá na síle v~době mimořádných událostí.%, za jaké jistě lze označit pandemii onemocnění COVID19, o které mluvíme od roku 2020.    
 

\subsection{Záhada zmizelého peaku}

Data o~objemu nově poskytnutých hypotečních úvěrů jsou k~dispozici ve veřejné databázi ARAD\footnote{\url{https://www.cnb.cz/cnb/STAT.ARADY_PKG.STROM_KOREN}}, která je součástí informačního servisu České národní banky. Některé údaje mohou být z~této databáze získány a~zobrazeny i~na úrovni měsíčních hodnot. Nese to však s~sebou neočekávaný problém. Pokud při výběru dat změníme volbu parametru \textit{periodicita} z~možnosti \textit{měsíční} na možnost \textit{kvartální}, nezískáme součty za jednotlivá čtvrtletí (kvartály), ale pouze vyfiltrujeme měsíční údaje vždy za poslední měsíc v~kvartálu. \textit{Získáme tak poměrně kuriózní časovou řadu měsíčních údajů, ovšem jen některých.} To je velmi matoucí zejména v~grafu, kde jsou za rok vždy čtyři pozorování, ale nikde není upozornění, že na svislé ose jsou hodnoty odpovídající údajům vždy jen za jeden (poslední) měsíc čtvrtletí.

Měsíční data jsou k~dispozici např. pro veličinu \textit{Nové úvěry na bydlení poskytnuté bankami a~stavebními spořitelnami obyvatelstvu}, viz obrázek~\ref{fig:graf2} nahoře. Z~tohoto grafu je patrné, že k~extrémnímu výkyvu došlo v~dubnu a~květnu roku 2020. Peak odpovídající těmto dvěma měsícům však \uv{zmizí}, pokud zvolíme kvartální periodicitu (obrázek~\ref{fig:graf2} dole). Jak jsme vysvětlili výše, je to dáno tím, že v~dolním obrázku jsou zobrazena data vždy za poslední měsíc kvartálu, což v~případě druhého čtvrtletí znamená, že jde o~data za červen.

\begin{figure}[!hbt]
	\centering
		\includegraphics[width=1.00\textwidth]{graf2-new.pdf}
	\caption{Objem nových úvěrů na bydlení poskytnutých bankami a~stavebními spořitelnami obyvatelstvu v~mil. Kč dle ČNB. Srovnání grafů při volbě měsíční (nahoře) a~kvartální (dole) periodicity.}
	\label{fig:graf2}
\end{figure}

Nedorozumění vzniká z~nepochopení povahy časové řady. Zde jde o~typickou intervalovou časovou řadu, v~níž hodnoty ukazatele závisí na délce časového intervalu sledování. Hodnoty takové časové řady lze agregovat sčítáním přes několik časových intervalů (např. měsíční pozorování sčítáme přes tři měsíce kvartálu a~vznikají tak čtvrtletní hodnoty). Rozdíl mezi intervalovou a~tzv. okamžikovou časovou řadou je přitom typicky uváděn hned v~úvodu základních kurzů analýzy časových řad, viz např. kapitola 1.1 monografie \cite{Arlt}.   


\subsection{Pátrání po původu peaku}\label{puvod}

Položíme-li si otázku, jak predikovat vývoj časové řady zobrazené v~grafu~\ref{fig:graf1}, bylo by dobré nejprve pochopit, co se stalo ve druhém čtvrtletí roku 2020, v~němž byla zaznamenána neobvykle vysoká hodnota. Připomeňme, že v~bře\-znu roku 2020 byly v~České republice potvrzeny první případy nákazy virem SARS-CoV-2 (1.\,3.), byly uzavřeny všechny školy (11.\,3.) a~byl vyhlášen nouzový stav (14.\,3.). Konec prvního a~začátek druhého čtvrtletí roku 2020 byla tedy bezesporu doba mimořádných událostí, přinejmenším v~kontextu několika uplynulých desetiletí. O~to překvapivější je, že v~takto nejisté době dramaticky stoupnul \textit{objem nově poskytnutých hypotéčních úvěrů}. %Hypotéka přeci jen znamená závazek a nejistá doba dobrovolně činěným novým závazkům příliš nepřeje. 

K~vysvětlení tohoto překvapivého jevu nás může přivést bližší prozkoumání datové sady zveřejněné v~databázi ARAD. Na obrázku~\ref{fig:graf3} jsou zobrazeny \textit{čisté nové a~nově ujednané úvěry poskytnuté bankami domácnostem a~neziskovým institucím sloužícím domácnostem (NISD) v~ČR} rozdělené do tří kategorií: 
\begin{itemize}
\itemsep=0pt
	\item čisté nové úvěry včetně navýšení (skutečně nové úvěry),
  \item refinancované úvěry,
	\item ostatní nová ujednání ke stávajícím smlouvám.
\end{itemize}
Z~grafu je přitom patrné, že k~extrémnímu nárůstu došlo v~dubnu a~květnu 2020 jen v~kategorii \textit{ostatní nová ujednání ke stávajícím smlouvám}. Nešlo tedy o~extrémní objem skutečně nových úvěrů.

\begin{figure}[!hbt]
	\centering
		\includegraphics[width=1.00\textwidth]{graf3bw.pdf}
	\caption{Objem čistých nových a~nově ujednaných úvěrů poskytnutých bankami domácnostem a~neziskovým institucím sloužícím domácnostem (NISD) v~ČR v~mil. Kč dle ČNB.}
	\label{fig:graf3}
\end{figure}

Co se skrývá za nárůstem v~kategorii \textit{ostatní nová ujednání ke stávajícím smlouvám}? 
Metodický list k~příslušnému okruhu dat (Úrokové sazby měnových finančních institucí) dostupný na stránkách ČNB\footnote{ 
\url{https://www.cnb.cz/cnb/STAT.ARADY_PKG.PARAMETRY_SESTAVY?p_strid=AAABAC&p_sestuid=60323&p_tab=2&p_lang=CS}} nabízí jen velmi obecné vymezení této kategorie. Ta \uv{obsahuje úvěry, které byly již dříve poskytnuty vykazující bankou a~došlo u~nich
pouze k~novému ujednání (např. refixace úrokové sazby u~úvěrů na bydlení).
Dále se v~této položce vykazují konsolidované úvěry, jejichž původním věřitelem
je jak jiná/jiné instituce tak i~vykazující banka nebo případně pouze vykazující
banka. Případné navýšení úvěru je analogicky jako u~refinancovaných úvěrů
součástí kategorie čistých nových úvěrů.}

Peak v~kategorii \textit{ostatní nová ujednání ke stávajícím smlouvám} a~následně i~v~celkovém součtu přes všechny tři kategorie  
ve skutečnosti vznikl v~souvislosti s~přijetím moratoria na splátky úvěrů a~hypoték, viz dokument ČNB \textit{Zpráva o~finanční stabilitě 2020/2021}~\cite{zprava}, str. 84--85. Toto moratorium schválila Vláda ČR 1.\,4.\,2020 na návrh Ministerstva financí ČR.
Dlužníci z~řad fyzických osob i~firem mohli podle své volby přerušit splácení na tři nebo šest měsíců. 
Splátky mohly být odloženy poté, co dlužník oznámil tento záměr svému věřiteli, a~prohlásil, že k~tomuto kroku přistupuje z~důvodů negativního ekonomického dopadu pandemie koronaviru. Tyto důvody však nemusel nijak prokazovat. Více se o~tomto tématu lze dozvědět na stránkách České bankovní asociace, která průběžně data o~vývoji zájmu o~odklad splátek v~daném čase sledovala a~komentovala, viz např.~\cite{CBA}. 
    
Při zkoumání determinantů objemu poskytnutých hypoték v~České republice lze snadno sklouznout s~jednoduchým, ale nesprávným vysvětlením peaku v~časové řadě na obrázku~\ref{fig:graf1}. Mohlo by se například zdát, že prudký nárůst proměnné Úvěry v~dubnu a~květnu roku 2020 byl způsoben
zrušením limitu DTI (Debt to Income) a~uvolněním limitu LTV (Loan to Value) a~DSTI (Debt Service to Income), ke kterým přistoupila ČNB 1. dubna 2020. Jak jsme vysvětlili, peak neodrážel zvýšený zájem o~poskytnutí nové hypotéky, ale vznikl přijetím nového ujednání (týkajícího se odkladu splátek) u~řady již existujících smluv. 

Tento příklad nás vede k~obecnému varování před unáhlenými závěry bez detailního pochopení původu dat, včetně způsobu sběru dat a~definic jednotlivých proměnných obsažených v~datech. 

%\Podekovani{Pokud chcete na závěr někomu poděkovat, například poskytovateli prostředků, které byly použity při realizaci projektu, jehož je článek výstupem, můžete tak učinit zde.}


\section{Třetí oříšek -- úmrtnost}\label{sec03}
\subsection{Podivný graf z~jara 2021}

Na jaře roku 2021 jsem zahlédl graf vývoje úmrtnosti v~posledních třech desetiletích v~šesti věkových skupinách obyvatelstva (0--14, 15--39, 40--64, 65--74, 75--84, 85+ let). Tento graf ukazoval jednak poměrně setrvalý pokles úmrtnosti ve všech věkových skupinách (který implikuje skutečnost, že \uv{lidé se dožívají vyššího věku}), ovšem ve třech nejstarších věkových skupinách byl také patrný nezanedbatelný nárůst úmrtnosti v~roce 2020. Ve věkové skupině 85+ byl však podobně dramatický nárůst také kolem roku 2004. Že by v~tom období došlo k~nějaké pozapomenuté či nepovšimnuté epidemii v~této věkové skupině? Než budeme pátrat, co se v~daném období odehrálo, připomeňme, jak vůbec \uv{měřit} úmrtnost.

V~tomto článku budeme odhadovat \textit{pravděpodobnost úmrtí ve věku $x$}, tedy pravděpodobnost toho, že jedinec, který je na živu ve věku $x$, zemře před dosažením věku $x+1$. Takto chápe pravděpodobnost úmrtí ve věku $x$ např.~\cite{Cipra}. Všimněme si, že jde o~podmíněnou pravděpodobnost úmrtí v~daném věku $x$ za podmínky, že se člověk věku $x$ dožil.   

Při odhadu pravděpodobnosti úmrtí ve věku $x$ si musíme uvědomit, že se tato pravděpodobnost v~čase mění (lidé se dožívají vyššího věku). Její odhad proto vztáhneme vždy k~určitému roku (označme rok $t$). 


\subsection{Odhad pravděpodobnosti úmrtí ve věku $x$}

První nápad, jak odhadnout pravděpodobnost úmrtí ve věku $x$, je vydělit počet zemřelých v~daném roce ve věku $x$ počtem všech obyvatel, kteří na začátku tohoto roku byli ve věku $x$. 
Označme:
\begin{itemize}
\itemsep=0pt
	\item $_tD_x \dots$ počet lidí zemřelých ve věku $x$ v~roce $t$,
	\item $_{t-1}P_x \dots$ počet lidí, kteří mají na konci roku $t-1$ (resp. na začátku roku $t$) věk $x$.
\end{itemize} 
Odhad pravděpodobnosti úmrtí ve věku $x$ v~roce $t$ můžeme vypočítat jako podíl
\begin{equation} \label{aprox}
 \frac{_{t}D_x}{_{t-1}P_x}. 	
\end{equation}
Výhoda tohoto postupu je, že oba údaje jsou pro ČR poměrně snadno dostupné. Tento postup, který byl použit při konstrukci výše zmíněného grafu, budu označovat za aproximativní. Poznamenejme, že např. Český statistický úřad uvádí specifické míry úmrtnosti, které představují počet zemřelých v~dané věkové skupině, připadající na 1000 obyvatel středního stavu (tedy stavu nikoliv na začátku roku, ale k~1. červenci) ve stejné věkové skupině. Hlubší zamyšlení nás povede k~úpravě (vylepšení) tohoto odhadu pravděpodobnosti úmrtí ve věku $x$.


Lidé, kteří na konci určitého roku $t$ mají věk $x$, se všichni narodili ve stejném roce (např. všichni lidé, kteří na konci roku 2021 měli 80 let, se narodili v~roce 1941). Vezměme tedy všechny lidi narozené ve stejném roce, tj. tvořící stejnou kohortu označenou rokem narození $z$. V~této kohortě se někteří lidé věku $x$ nedožili, někteří zemřeli ve věku $x$ a~někteří se dožijí (či dožili) vyššího věku než $x$. Zajímal by nás tedy podíl lidí narozených v~daném roce $z$ (1941), kteří zemřeli ve věku $x$ (80 let), ve skupině všech lidí stejného ročníku $z$, kteří se věku $x$ dožili. 

Lidi z~kohorty $z$, kteří zemřeli ve věku 80 let, přitom můžeme rozdělit do dvou skupin: na ty, kteří v~roce 2021 oslavili osmdesáté narozeniny, ale konce roku už se nedožili (zemřeli v~roce 2021 po 80. narozeninách), a~na ty, kteří se dožili roku 2022, ale zemřeli v~něm před svými 81. narozeninami. 

Zavěďme následující označení:
\begin{itemize}
\itemsep=0pt
	\item $_tD_x^z \dots$ počet lidí z~kohorty $z$ zemřelých ve věku $x$ v~roce $t$,
	\item $_tP_x^z \dots$ počet lidí z~kohorty $z$, kteří mají na konci roku $t$ věk $x$.
\end{itemize} 
Celkový počet lidí z~kohorty $z$ zemřelých ve věku $x$ vypočteme jako součet $_{z+x}D_x^z + _{z+x+1}D_x^z$. 
Všechny lidi z~kohorty $z$, kteří se věku $x$ dožili, můžeme opět rozdělit do dvou skupin: na ty, kteří se dožili konce roku $z+x$ (jejich počet je $_{z+x}P_x^z$), a~na ty, kteří se sice věku $x$ v~průběhu roku $z+x$ dožili, ale už se nedožili konce roku $z+x$ (jejich počet je $_{z+x}D_x^z$). Docházíme tedy k~odhadu míry úmrtnosti pro kohortu $z$ a~věk $x$ v~podobě podílu:
\begin{equation} \label{vz}
 \frac{_{z+x}D_x^z + _{z+x+1}D_x^z}{_{z+x}P_x^z + _{z+x}D_x^z}. 	
\end{equation}
Tento výpočet je uveden např. v~publikaci~\cite{Mazouch}, na str. 45, kterou doporučujeme zájemcům o~problematiku konstrukce kohortních úmrtnostních tabulek. V~této publikaci se čtenář rovněž poučí o~názorné pomůcce známé jako demografická síť či Lexisův diagram, viz~\cite{Mazouch}, str. 17--19.   

Dodejme, že údaje o~počtu zemřelých podle věku a~ročníku narození jsou k~dispozici v~demografických ročenkách ČR zveřejňovaných pravidelně Českým statistickým úřadem. 


\subsection{Aproximativní výpočet a~jeho selhání}

Z~výše uvedených úvah je patrné, jaké nedostatky má dříve zmíněný aproximativní výpočet. Především ne všichni, kteří zemřeli v~daném roce v~daném věku, měli tento věk již na počátku roku. Tito jsou započteni v~čitateli, nikoliv však ve jmenovateli aproximativního vzorce. Tím se ovšem vytrácí interpretace, kdy ve jmenovateli by měli být všichni \uv{v~riziku} (exponovaní). 

V~běžné situaci můžeme docela dobře předpokládat $_{z+x}D_x^z \approx _{z+1+x}D_x^{z+1}$. Při použití této aproximace ve vzorci~(\ref{vz}) dotaneme v~čitateli počet všech zemřelých v~roce $z+1+x$ ve věku $x$ (tedy čitatel aproximativního vzorce). S~výjimkou nejvyšších věkových skupin můžeme pak jmenovatel aproximovat členem $_{z+x}P_x^z$, který je v~čase poměrně stabilní, tj. $_{z+x}P_x^z \approx _{z+x+1}P_x^{z+1}$. Tím je ospravedlněn výše uvedený aproximativní výpočet. 

Z~výše uvedených úvah je patrné, že velký rozdíl ve velikosti populačních ročníků povede k~velké odchylce aproximativní hodnoty od hodnoty vypočtené podle vztahu~(\ref{vz}). Velké rozdíly ve velikosti populačních ročníků byly zejména mezi ročníky 1918 a~1919, a~také 1919 a~1920. 
Analýza dat o~úmrtnosti publikovaných v~demografických ročenkách České republiky\footnote{\url{https://www.czso.cz/csu/czso/casova_rada_demografie} a~\url{https://www.czso.cz/csu/czso/demograficka-rocenka-ceske-republiky-2021}} odhalila, že domnělé zvýšení úmrtnosti ve skupině 85+ kolem roku 2004 bylo jen artefaktem způsobeným nesprávným (aproximativním) výpočtem úmrtnosti. Selhání výpočtu, který jindy dává poměrně dobrý odhad pravděpodobnosti úmrtí v~určitém věku, bylo způsobeno tím, že do věkové skupiny 85+ v~daném čase vstupovaly populačně výrazně silnější poválečné ročníky (1919, 1920). Více než sto let stará mimořádná událost (první světová válka) tak zřejmě zmátla autora onoho grafu z~jara 2021, o~němž byla řeč na začátku.

Obrázek~\ref{fig:graf4} znázorňuje vývoj (odhadnuté) míry úmrtnosti ve věkové skupině 80 let v~období let 1990 až 2020. Poznamenejme, že odhad pomocí vztahu~(\ref{vz}) pro rok $t$ využívá data za roky $t$ a~$t+1$. V~současnosti jsou k~dispozici data do roku 2021\footnote{Demografická ročenka ČR -- 2021 byla publikována 3.\,10.\,2022.}, proto výpočet je proveden do roku 2020. Z~grafu je patrný velký rozdíl odhadu úmrtnosti při použití vztahu~(\ref{vz}) a~aproximativní metody v~letech 1999 a~2000. Jsou to roky, kdy své osmdesáté narozeniny slavily ročníky 1919 a~1920, tedy poválečné ročníky. Ty byly populačně výrazně silnější než ročníky válečné, jak je možné se přesvědčit z~tabulky~\ref{tab1}. Aproximativní výpočet v~tomto případě vede k~nesprávnému nadhodnocení míry úmrtnosti v~daných letech.  

\begin{figure}[!hbt]
	\centering
		\includegraphics[width=1.00\textwidth]{graf-umrtnost.pdf}
	\caption{Úmrtnost (vyjádřená jako podíl) ve věku 80 let. Srovnání odhadu vypočteného podle vztahu~(\ref{vz}) a~odhadu aproximativního.}
	\label{fig:graf4}
\end{figure}
 
 

%\begin{landscape}
\captionsetup{justification=centerlast}

\begin{table}
\centering
\rotatebox{90}{%
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}%
\renewcommand{\tabcolsep}{10pt}%
\begin{tabular}{|c|c|ccc|cc|cc|}
%\begin{tabular*}{\textwidth}{rrrrrrrrr}
  \hline
  \raisebox{-2ex}[0pt][0pt]{Rok ($z+x$)}& 
  \raisebox{-2ex}[0pt][0pt]{Ročník ($z$)} & 
  \multicolumn{3}{c|}{Zemřelí} & \multicolumn{2}{c|}{Populace} & \multicolumn{2}{c|}{Úmrtnost}\\ 
  \cline{3-9}
	           &              & /1/ & 
                                 /2/ & 
                                 /3/ & 
                                 /4/ & 
                                 /5/ & 
                                 /6/ & 
                                /7/ \\ 
  \hline
 1994 & 1914 & 2162 & 4218 & 4565 & 45705 & 46593 & 0,0881 & 0,0980 \\ 
 1995 & 1915 & 1912 & 3291 & 3968 & 32946 & 45705 & 0,0944 & 0,0868 \\ 
 1996 & 1916 & 1158 & 2235 & 2537 & 24442 & 32946 & 0,0873 & 0,0770 \\ 
 1997 & 1917 &  950 & 1916 & 2027 & 22047 & 24442 & 0,0833 & 0,0829 \\ 
 1998 & 1918 &  915 & 1881 & 1881 & 21596 & 22047 & 0,0836 & 0,0853 \\ 
 \textbf{1999} & \textbf{1919} & \textbf{1409} & \textbf{3291} & \textbf{2375} & \textbf{37209} & \textbf{21596} & \textbf{0,0852} & \textbf{0,1100}\\ 
 \textbf{2000} & \textbf{1920} & \textbf{2030} & \textbf{3961} & \textbf{3912} & \textbf{46501} & \textbf{37209} & \textbf{0,0816} & \textbf{0,1051} \\ 
 2001 & 1921 & 2140 & 4320 & 4071 & 51429 & 46501 & 0,0806 & 0,0875 \\ 
 2002 & 1922 & 2278 & 4540 & 4458 & 52721 & 51429 & 0,0825 & 0,0867 \\ 
   \hline
\multicolumn{9}{|p{8cm}|}{%
/1/ $_{z+x}D_x^z$ \newline
/2/ $_{z+x}D_x^z + _{z+x+1}D_x^z$ \newline
/3/ $_{z+x}D_x^z + _{z+x}D_x^{z+1}$ \newline
/4/ $_{z+x}P_x^z$ \newline
/5/ $_{z+x-1}P_x^{z-1}$ \newline
/6/ Dle vztahu (\ref{vz}) \newline
/7/ Aproximativní%
} \\%
\hline
\end{tabular}%
}
\caption{Data o~vývoji úmrtnosti ve věkové\\ skupině 80 let v~letech 1994 až 2002.}
	\label{tab1}
\end{table}%
%\end{landscape}

%Především ne všichni z těch, keří měli na konci roku 2021 věk 80 let, a zemřeli v~roce 2022, budou vedeni jako zemřelí ve věku 80 let. Na druhou stranu tu budou tací, kteří na konci roku 
%\bigskip

\newpage
\renewcommand{\refname}{Literatura}
\begin{thebibliography}{9}
\setlength\itemsep{1pt}

\bibitem{Kostakova}
Košťáková, T. (2019): \textit{O~složitém jednoduše, aneb, Nebojte se statistiky, nekouše.} Praha: Český statistický úřad, 2019. ISBN 978-80-250-2908-4.


\bibitem{Arlt} 
Arlt, J., Arltová, M. a~Rublíková, M. (2002): \textit{Analýza ekonomických časových řad s~příklady.} 1.vyd. Praha: Vysoká škola ekonomická Praha, 2002. 148 s. ISBN 80-245-0307-7.

\bibitem{zprava} 
\textit{Zpráva o~finanční stabilitě 2020/2021}. Praha: Česká národní banka, 2021. ISBN 978-80-88424-02-4.

\bibitem{CBA}
Česká bankovní asociace k~aktuálním datům o~odkladu splátek. Tiskové sdělení 7.\,5.\,2020. Dostupné z: \url{https://cbaonline.cz/cba-k-aktualnim-datum-o-odkladu-splatek-kveten}.

\bibitem{Cipra}
Cipra, T. (2006). Pojistná matematika -- teorie a~praxe (2. vydání). Praha: Ekopress. 2006. ISBN 80-86929-11-6.

\bibitem{Mazouch}
Mazouch, P., Hulíková Tesárková, K. (2018). \textit{Kohortní úmrtnostní tabulky v~ČR: Metodické aspekty zpracování.} Vysoká škola ekonomická v~Praze, Nakladatelství Oeconomica, 2018, 90 s. ISBN 978-80-245-2248-7. Dostupné z: \url{https://oeconomica.vse.cz/publikace/kohortni-umrtnostni-tabulky-v-cr-metodicke-aspekty-zpracovani} [e-kniha].

\end{thebibliography}
