% !TEX TS-program = LuaLaTeX
% !TEX encoding = UTF-8 Unicode 
% !TEX root = ../../mal-core.tex

\gdef\mujnazevCS{Vliv Covidu na výsledky sportovních utkání:\odskoc Zhoršily prázdné ochozy bilanci domácích týmů?}
%VLIV COVIDU NA V\'{Y}SLEDKY SPORTOVN\'{I}CH\\
%UTK\'{A}N\'{I}: Zhor\v{s}ily pr\'{a}zdn\'{e} ochozy bilanci dom\'{a}c\'{\i}ch t\'{y}m\r{u}?}
\gdef\mujnazevEN{Impact of Covid on results of sports matches:
Did spectators absence decrease the advantage of home teams?}
\gdef\mujnazevPR{\mujnazevCS}
\gdef\mujnazevDR{\mujnazevEN}
\gdef\mujauthor{Petr Volf}

\renewcommand\citeform[1]{}
\def\citeleft{}
\def\citeright{}
\def\sign{\textrm{sign}}
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\def\var{\textrm{var}}

\renewcommand*{\backrefalt}[4]{\ifnum#3>0\it\small cit.\,#2\fi}



\nazev{Vliv Covidu na výsledky sportovních utkání:\\[2pt] Zhoršily prázdné ochozy bilanci\\[2pt] domácích týmů?}

\nazev{Impact of Covid on results of sports matches:\\[2pt]
Did spectators absence decrease\\[2pt] the advantage of home teams?}

\author{\mujauthor}

\Adresa{Institute of Information Theory and Automation AS CR,
   Pod vod\'arenskou v\v{e}\v{z}\'{\i} 4, 182\,08 Praha 8}

\Email{volf@utia.cas.cz}


\Abstrakt{Sou\v{c}\'{a}st\'{\i} model\r{u}, kter\'{y}mi se sna\v{z}\'{\i}me popsat a~predikovat v\'{y}voj a~v\'{y}sledky sportovn\'{\i}ch utk\'{a}n\'{\i}, b\'{y}v\'{a} i~komponenta \v{c}i parametr
zohled\v{n}uj\'{\i}c\'{\i} v\'{y}hodu dom\'{a}c\'{\i}ho prost\v{r}ed\'{\i}. Budu se zab\'{y}vat
fotbalem \v{c}i hokejem, ale tento jev se t\'{y}k\'{a} i~jin\'{y}ch sport\r{u}, a~nejen
m\'{\i}\v{c}ov\'{y}ch. Tato v\'{y}hoda m\r{u}\v{z}e souviset se znalost\'{\i} prost\v{r}ed\'{\i}, s
psychick\'{y}m nastaven\'{\i}m (,,doma by se m\v{e}lo vyhr\'{a}t"), ale tak\'{e} ji
vytv\'{a}\v{r}ej\'{\i} fand\'{\i}c\'{\i} div\'{a}ci. A~pr\'{a}v\v{e} ,,doba covidov\'{a}" umo\v{z}\v{n}uje
porovn\'{a}n\'{\i}, jak siln\'{y} tento vliv je. Bez div\'{a}k\r{u} \v{c}i se siln\'{y}m
omezen\'{\i}m jejich po\v{c}tu se hr\'{a}la cel\'{a} sez\'{o}na 2020/2021. Porovn\'{a}v\'{a}m
proto \'{u}sp\v{e}\v{s}nost dom\'{a}c\'{\i}ch t\'{y}m\r{u} v~t\'{e}to sez\'{o}n\v{e} s~dv\v{e}ma sez\'{o}nami
p\v{r}ed i~po. A~to dost jednoduch\'{y}m zp\r{u}sobem. Nemodeluji s\'{\i}ly
obran \v{c}i \'{u}tok\r{u} jednotliv\'{y}ch t\'{y}m\r{u}, jak se to b\v{e}\v{z}n\v{e} d\v{e}l\'{a}, srovn\'{a}v\'{a}m
prost\v{e} jen po\v{c}ty dom\'{a}c\'{\i}ch v\'{y}her (proher, rem\'{\i}z), nebo po\v{c}ty
vst\v{r}elen\'{y}ch a~obdr\v{z}en\'{y}ch branek, po jednotliv\'{y}ch kolech
sout\v{e}\v{z}e, bez rozli\v{s}ov\'{a}n\'{\i} t\'{y}m\r{u}. Ale p\v{r}esto nejprve p\v{r}ipomenu
základní modely pro statistický popis sportovních utkání.}

%\KlicovaSlova{}

\Abstract{The home advantage is a~phenomenon having evidently a~strong
impact on results of sports matches. Therefore the ``home
advantage" parameter or component is standardly a~part of
statistical models describing (and forecasting) sports results. I
will concentrate here to the soccer and ice-hockey, however this
phenomenon concerns other sports as well. One initiator of this
advantage is the presence of home spectators. That is why the time
of Covid pandemic, when at least one season was played without (or
with strong limitation of) spectators, gives a~chance to compare
the ,,Covid" season with the others and, possibly, to discover a
significant decrease of home advantage impact. This paper uses
just rather simple statistical tools, nevertheless, with the aid
of basic statistical tests the changes of home teams results
(regarding both the gained points and scored goals) have been
detected.}


%\KeyWords{}

\section{\'{U}vod, modely zohledňující domácí výhodu}

Mám teď na mysli sporty jako fotbal, hokej, kde výsledek je určen na základě počtu branek.
Cílem je zpravidla modelovat výsledky jednotlivých utkání, za účelem jejich predikce,
tj. i~s~ohledem na spolehlivé sázení na ně. Takže je t\v{r}eba zahrnout parametry jednotlivých týmů zohledňující jejich sílu, i~další faktory mající vliv na zápas. Nejjednodušší by bylo vytvo\v{r}it nap\v{r}. trinomický model pro výsledky výhra, remíza, prohra, t\v{r}eba logistického typu, který umožňuje popsat i~onen vliv různých okolností. Ale od začátku byly také vyvíjeny modely pro skóre zápasů. Samoz\v{r}ejmě, p\v{r}edpověď skóre moc spolehlivá není, hlavním cílem je ale stále p\v{r}edpovídat vítěze.

Nejjednodušší model je t\v{r}eba následující založený na dvou nezávislých
Poissonových náhodných veličinách (nap\v{r}. Maher, 1986, model 2):
\cite{Ma}%
Označme $X_{ij}$  a~$Y_{ij}$ počet gólů domácích a~hostů v~zápase mezi týmem
$i$ (domácí) a~$j$ (hosté). Pak

\begin{equation}\label{1}
\begin{array}{rcl}
X_{ij} &\sim& \mbox{Poisson}(\lambda_1=\alpha_i
 \beta_j \gamma),\medskip\\
 Y_{ij} &\sim& \mbox{Poisson}(\lambda_2= \alpha_j\beta_i),
\end{array}
\end{equation}
kde $\alpha_i,\,\beta_i>0$,
$\alpha_i$ charakterizuje útočnou sílu týmu $i$, $\beta_i$ pak sílu obrany.
No a~$\gamma$ je parametr domácí výhody. Parametry $\alpha_i,\,\beta_i$
musí být vhodně normovány (kvůli jednoznačnosti).
Takže i~zde se pochopitelně počítá s~výhodou domácího prost\v{r}edí, očekává se $\gamma>1$.
V~článku Maher (1986), 
\cite{Ma}%
kde zpracovává data z~ročníku 1971/1972 anglické Premier Division,
 p\v{r}ímo odhad $\gamma$ není uveden, dá se spočítat z~jeho tabulek, vychází kolem 1,38.

Maher si také všímá nesouladu četností  výsledků s~malým počtem gólů s~nezávislým modelem,
a~navrhuje použít 2-rozměrný Poissonův model. Ten je vybudován takto:
Nechť $X_1,X_2,X_3$ jsou 3 nezávislé veličiny s~Poissonovým rozdělením s~parametry
$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$. Pak 2-rozměrné Poissonovo rozdělení je tvo\v{r}eno
veličinami $Y=X_1+X_3, Z=X_2+X_3$. Jejich kovariance je $\lambda_3$, a~mají marginální Poissonova rozdělení s~parametry $\lambda_1+\lambda_3, \lambda_2+\lambda_3$.
Z~konstrukce plyne, že korelace je nezáporná. Maherův odhad korelace je 0,2, a~model prokazuje skutečně lepší fit.

V~dal\v{s}ím článku Dixon, Coles (1997) 
\cite{DC}%
analyzují sezónu 1995/1996 a~4 nejvyšší anglické fotbalové soutěže (92 týmů). Parametr domácí výhody $\gamma$ je opět p\v{r}ibližně 1,38, a~zárove\v{n} ukazují, že je prakticky konstantní během celé sezóny. To znamená, že také sledovali, jak se parametry mění během roku. Nesoulad dat s~nezávislým Poissonovým modelem \v{r}e\v{s}í pak použitím
,,inflatted" modelu, čili směsí základního modelu s~distribucí dávající jinou váhu několika výsledkům,
(konkrétně, pravděpodobnosti 0:0, 1:1 jsou v~,,nezávislém" modelu podceněny, naopak 0:1, 1:0 se vyskytují méně než z~něj vyplývá).

Rodina modelů je opravdu bohatá. T\v{r}eba v~Volf (2009) 
\cite{V2}%
jsou modelem pro vývoj skóre 2 zárove\v{n} běžící čítací procesy,
 které se vzájemně ovliv\v{n}ují prost\v{r}ednictvím kovariát (v~rámci Coxova regresního modelu,
jehož parametry také mohou být proměnné v~čase). Kovariáty odrážejí stavy týmů i~průběžný stav zápasu.

Pokud jde t\v{r}eba o~lední hokej, tam vychází parametr domácí
výhody niž\v{s}í. Nap\v{r}. p\v{r}i analýze dat z~české hokejové
Extraligy v~ročníku 2007/2008 jsem kdysi (opět v~rámci modelu 2
nezávislých Poissonových rozdělení pro počet gólů) odhadl
$\gamma =1{,}23\, (1{,}17,\,1{,}29)$  (Volf, ICPM 2008).
\cite{V1}%
Porovnání domácí výhody u~více sportů uvidíme hned v~dal\v{s}í části, v~tabulce na Obr.~\ref{obr1}.

\section{Jak jednodu\v{s}e mě\v{r}it domácí výhodu?}

Inspirací může být článek Pollard (1986). 
\cite{Po}%
Ten se soust\v{r}eďuje právě na kvantifikaci
výhody domácího prost\v{r}edí, v~rámci určité soutěže či ročníku,
bez toho, aby modeloval vývoj utkání, sílu týmů a~pod. Na začátku formuluje několik
možných p\v{r}íčin takové výhody, některé se dají mě\v{r}it, některé hů\v{r}:
\begin{enumerate}
\itemsep=-1pt
\item Divácká kulisa, povzbuzování.
\item Znalost domácího prost\v{r}edí (domácí hráči mají i~zázemí, na které jsou zvyklí).
\item Taktika, domácí chtějí vyhrát.
\item Strannost rozhodčích (i~nechtěná, způsobená atmosférou, reakcí diváků).
\item Dal\v{s}í psychické faktory (+ i~$-$, t\v{r}eba i~zvý\v{s}ená nervozita).
\item Únava hostů z~cesty, atd.
\end{enumerate}

Dále se Pollard zabývá poměrně jednoduchou metodou: prostě spočte relativní četnost výher
domácích týmů, nebo v~p\v{r}ípadě, kdy je víc možností než prostá výhra/prohra, spočte poměrnou část bodů získaných domácími týmy. A~pokud je statisticky významně nad 50\,\%, je to důkaz o~existenci domácí výhody a~zárove\v{n} i~její číselné ohodnocení. Pro některé soutěže jsou jeho výsledky v~následující tabulce.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{Pollard_table.jpg}%
\caption{Tabulka 1 z~Pollard (1986).\cite{Po}}%
\label{obr1}
\end{figure}

V~podstatě použiji také takové jednoduché porovnávání, nyní s~cílem porovnat bilanci domácích za Covidu (tj. v~podstatě bez diváků) s~normálními sezónami.
Je\v{s}tě se zmíním o~jedné studii vyhodnocující domácí výhodu, od autorů z~KMA ZČU v~Plzni (Marek, Vávra, 2020).
\cite{MV}%
Ti navrhli použít rozdíly skóre ze zápasů každé dvojice týmů, $i,j$, doma i~venku, a~vytvo\v{r}it trinomickou veličinu $C$ s~hodnotami $-$1, 0, 1 takto:
  $$
    C_{ij}=\sign[(h_i-a_j)- (a_i-h_j)],
 $$
kde $h_i, a_i$ jsou počty gólů vst\v{r}elených týmem $i$ doma
(home) a~venku (away) v~tomto ,,dvojzápase" týmů $i,j$. Tyto
hodnoty pak sečetli a~zprůměrovali za jednotlivý ročník
soutěže, pak p\v{r}ípadně za více ročníků téže soutěže.
Zpracovali takto dost velké množství dat, z~19 evropských
fotbalových soutěží (i~niž\v{s}ích), za ročníky 2007/2008 až
2016/17, počet dvojic zápasů byl p\v{r}es \mbox{36\,000}. Je ot\'{a}zka, zda a
pro\v{c} je tento způsob bilance v\'{y}hodn\'{y}. Metoda pou\v{z}\'{\i}v\'{a} pom\v{e}rn\v{e}
detailn\'{\i} informaci (sk\'{o}re z\'{a}pasů), kterou ale nevyu\v{z}ije naplno.
Pro dom\'{a}c\'{\i} v\'{y}hodu zde sv\v{e}d\v{c}\'{\i}, kdy\v{z} je st\v{r}edn\'{\i} hodnota veli\v{c}iny $C$
v\'{y}znamn\v{e} v\v{e}t\v{s}\'{\i} ne\v{z} nula.

%%%%%%%
\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{pvfig1.eps}%
\caption{Proporce domácích výher (spodní, nejtmavší pole), remíz, proher 
(horní, nejsvětlejší pole) po jednotlivých kolech v~sezónách 2018/2019 až 2022/2023. Dole je totéž vyhlazeno klouzavým oknem \v{s}í\v{r}ky 7.}%
\label{obr2}%
\end{figure}


\section{Analýza vlivu Covidu na fotbalovou Fortuna ligu}

Nejd\v{r}ív se podívám na českou 1. fotbalovou ligu. Budu porovnávat ročníky
2018/2019 až 2022/2023 bez 2020/2021 právě s~tímto ročníkem. A~to sice základní části těchto ročníků, bez nadstaveb. Výsledky zápasů z~oněch ročníků lze nalézt na %webové stránce
\href{https://www.sport.cz/sekce/fotbal-ceska-1-liga-vysledky-4}{\tt www.sport.cz/sekce/fotbal-ceska-1-liga-vysledky-4}.

Jaro 2020 se vlastně dohrálo s~diváky, nebo\v{t} liga byla od poloviny b\v{r}ezna do
konce května p\v{r}eru\v{s}ena, zatímco ročník 2020/2021 začal s~omezením na 2000 diváků, v~zá\v{r}í se rychle  p\v{r}e\v{s}lo na maximum 500 a~v~\v{r}íjnu byly v\v{s}echny soutěže p\v{r}eru\v{s}eny. Od listopadu se pokračovalo, ale kompletně bez diváků, k~pozvolnému uvolnění do\v{s}lo až v~květnu 2021. Nadstavba se už nehrála.

Každá základní část měla 16 týmů, hrál každý s~kažým doma i~venku, takže bylo
30 kol po osmi zápasech. Až právě na sezónu 2020/2021,
ta měla 18 týmů, takže se hrálo 34 kol po 9 zápasech. Nezabývám se jednotlivými týmy, nejmen\v{s}í jednotkou je pro mne 1 odehrané kolo, takže bilanci kol 2020/2021 jsem p\v{r}epočetl jakoby na 8 zápasů. Je\v{s}tě zde podotknu, že grafy mají formu časových \v{r}ad (časem je index kola, což vět\v{s}inou odpovídá periodě 1 týden), ale jde v~podstatě o~realizaci nezávislých náhodných veličin (stejně rozdělených v~každé z~obou skupin). To bylo v~obou skupinách otestováno testy nezávislosti (série nad a~pod mediánem, série nahoru a~dolů).

Nejd\v{r}ív jsem se zabýval počty výher domácích, remíz a~výher hostů v~jednotlivých kolech. Graf těchto počtů
je na Obrázku~\ref{obr2}. V~dolní části je vždy zprůměrováno nejbliž\v{s}ích 7 kol.
Z~obrázku se nedá usoudit na nějaký výrazný pokles bilance domácích, to se dá udělat až pomocí porovnání proporcí, nejlépe analýzou kontingenční Tabulky~\ref{tab1}.


\begin{table}[h]
\centering
\resizebox{\textwidth}{!}{%
\begin{tabular}{|l|c c c|c||c c c|}
\hline
 &Výhry& Remízy & Prohry & Součty &  &Proporce &  \\
 \hline
 Ostatní   &  458   &227 &  275 & \phantom{1}960&  0,4771 &  0,2364 &   0,2865\\
  2020/2021 &  126   & \phantom{1}80   &100   & \phantom{1}306& 0,4118   & 0,2614 &   0,3268\\
   \hline
 Součty  &   584  & 307 &  375 & 1266& & & \\
 \hline
 \end{tabular}}
\caption{Četnosti a~relativní četnosti domácích výher, remíz, proher.}
\label{tab1}
\end{table}

Z~této tabulky nedostaneme statisticky významný výsledek, $p$-hodnota p\v{r}íslu\v{s}ného chí-kvadrát testu nezávislosti v~kontingeční tabulce je 0,1341.
Pokud však vezmeme domácí výhry proti ostatním výsledkům, rozdíl proporcí 0,4771  proti 0,4118 už je statisticky významný, test nezávislosti v~2$\times$2 kontingenční tabulce má $p$-hodnotu 0,0459.  Takže lze aspo\v{n} takto považovat tezi o~zhor\v{s}ené bilanci v~domácích zápasech za prokázanou.

 \begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{pvfig2.eps}
\caption{Průměrný počet bodů získaný domácím týmem za 1 zápas, po jednotlivých kolech.}
\label{obr3}
\end{figure}

Pokud vycházím jen z~bilance výher, remíz a~proher, mohu je ohodnotit body 
(3 body za výhru, 1 bod za remízu, 0 za prohru) a~tedy porovnávat body získané domácími týmy v~obou obdobích. Obrázek~\ref{obr3} ukazuje, jak to vypadalo: V~každém kole jsem spočítal počet bodů získaných domácími, relativně na 1 zápas. Takto získaná veličina má základní charakteristiky v~Tabulce~\ref{tab2},
a~test normalitu jejího rozdělení nezamítá (použil jsem Lillieforsův test, tj. 
,,zp\v{r}ísněný`` Kolmogorovův Smirnovův test, zvlášť pro sezónu 2020/2021 a~pro ostatní ročníky).

\begin{table}[h]
\centering
%\resizebox{\textwidth}{!}{%
\begin{tabular}{|l| c| c|c|c|}
\hline
 Sezóna    &Průměr & Směr. odchylka& Medián & $n$ je počet kol \\
 \hline
 Ostatní sezóny  &  1,6677    &   0,4582 &   1,6250 &120\\
   2020/2021         &  1,4967    &  0,3966  & 1,5000 &\phantom{1}34 \\
   \hline
 \end{tabular}%}
\caption{Charakteristiky počtu bodů získaných domácími za 1 zápas.}%
\label{tab2}%
\end{table}

Na Obrázku~\ref{obr3} vidíme průměr i~kontrolní linie (ve vzdálenosti 2 a~3 směrodatné odchylky od průměru) odpovídající této veličině v~sezónách mimo 2020/2021. Pokud udělám $t$-test hypotézy rovnosti st\v{r}edních hodnot, příslušná 
$p$-hodnota je 0,0501. ,,Hrub\v{s}í`` Wilcoxonův test na rovnost mediánů pak
dá $p$-hodnotu 0,0674, čili v~obou případech je výsledek na hranici zamítnutí hypotézy
rovnosti. 
%\medskip

 \begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{pvfig3.eps}
\caption{Počty gólů vst\v{r}elených domácími (naho\v{r}e) a~hosty (dole) v~jednotlivých kolech.}
\label{obr4}
\end{figure}

Kromě počtu výher či bodů jsem se také podíval na skóre zápasů, zase vždy dohromady p\v{r}es celé kolo. Počet gólů vst\v{r}elených domácími a~hosty během jednotlivých kol ukazuje Obrázek~\ref{obr4} (opět, počty gólů v~každém kole v~sezóně 2020/2021 byly brány jako zaokrouhlení 8/9 skutečného počtu). Obě skupiny dat (2020/2021 a~ostatní) v~obou grafech lze modelovat jako nezávislé Poissonovy náhodné veličiny. Tabulka~\ref{tab3} ukazuje jejich charakteristiky.

\begin{table}[!ht]
  \centering
\begin{tabular}{|r| r| r|r|r|}
\hline
  Sezóna   &Průměr doma &Průměr venku & Std doma& Std venku \\
 \hline
 Ostatní   &  12,8917    &   9,2583 &   3,9211  &3,2032\\
 2020/2021         &   11,7647   &  9,7059  & 3,7178 & 2,7362 \\
   \hline
 \end{tabular}
\caption{Charakteristiky počtu vst\v{r}elených gólů za jedno kolo.}
\label{tab3}
 \end{table}

Obrázek~\ref{obr4} sice naznačuje jakési rozdíly, snížené počty gólů doma a~zvý\v{s}ené venku, výraznější je to pro domácí góly, zatímco pro góly venku se nepoda\v{r}ilo prokázat statisticky významnou odli\v{s}nost.  Jednostranné testy rovnosti st\v{r}edních hodnot na základě CLV použité pro Poissonovo rozdělení vedly k~následujícím $p$-hodnotám:

\noindent\hfil
$p=0{,}0471$ pro góly domácích,  $p=0{,}2287$ pro góly hostů.

Obrázek~\ref{obr4} jsem doplnil kontrolními liniemi odpovídajícími \v{r}adě Poissonových veličin,
 z~dat bez ročníku 2020/2021. 

 \begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=11cm,height=7cm]{pvfig4.eps}
\caption{Rozdíly počtu gólů vst\v{r}elených domácími a~hosty v~jednotlivých kolech.}
\label{obr5}
\end{figure}

 Jak jsem zmínil, někte\v{r}í auto\v{r}i používají 2-rozměrné Poissonovo rozdělení, pro góly vst\v{r}elené a~obdržené
 během jednoho zápasu. Ta používaná verze má jedno omezení, a~to že korelace je kladná.
Zde \v{s}lo o~počty gólů (domácích a~hostů) vždy za celé kolo, korelace byla jednak hodně malá (statisticky nevýznamná), a~navíc záporná.

Je\v{s}tě jsem zkusil i~dal\v{s}í model, a~to rozdíl dvou nezávislých Poissonových rozdělení, výsledkem je
tak zvané {\bf Skellamovo rozdělení} (viz t\v{r}eba opět Volf, ICPM 2008). Na Obrázku~\ref{obr5}
jsou vidět rozdíly počtu gólů vst\v{r}elených domácími a~hosty po jednotlivých kolech,
průměry těchto rozdílů jsou  2,0588 pro 2020/2021 a~3,6434 pro ostatní (této hodnotě odpovídá i~centrální linie v~grafu). 
 
Opět je možné použít alespoň p\v{r}ibližný test na rovnost p\v{r}íslu\v{s}ných st\v{r}edních hodnot, založený na CLV:
Jsou-li $X,\,Y$ nezávislé Poissonovy n.v. s~parametry $\lambda_1,\, \lambda_2$,
 tak $S= X - Y$ má E(S)=$\lambda_1-\lambda_2$ a~rozptyl $\var(S)=\lambda_1+\lambda_2$, čili vhodná testovací veličina je
 $$
 Z=(\overline{S}_1-\overline{S}_2)/ \sqrt{\var(S_1)/n_1 + \var(S_2)/n_2},
 $$
 kde $\overline{S}_1, \overline{S}_2$ jsou ony průměry rozdílů uvedené vý\v{s}e, odhady
 rozptylů jsou (jak naznačeno výše) součty oněch průměrů z~Tabulky~\ref{tab3}, zvlá\v{s}\v{t} v~\v{r}ádku pro 2020/2021 a~v~\v{r}ádku pro ostatní,
 $n_1, n_2$ odpovídající počty hodnot, zde tedy počty kol v~2020/2021 a~v~ostatních sezónách.

Nyní takto provedený jednostranný test dal $p=0{,}0164$, neboli prokázal, že
 v~sezóně 2020/2021 se významně snížil rozdíl mezi počty gólů vst\v{r}elených domácími a~hosty. Nicméně tento rozdíl je stále kladný, a~to statisticky významně, test může opět být založen na podobné veličině
  $Z_1=(\overline{S}_1-0)/ \sqrt{\var(S_1)/n_1}$, která má hodnotu 2,5908 a~tedy 
odpovídající  \mbox{$p$-hodnota} v~rámci standardního normálního rozdělení je 0,0048.

%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{pvfig5.eps}
\caption{Počty domácích výher v~jednotlivých kolech hokejové extraligy (tečkovaně),
vyrovnané pro každou sezónu klouzavým oknem \v{s}í\v{r}ky 7 (plné k\v{r}ivky).}
\label{obr6}
\end{figure}



\section{Výsledky pro hokejovou Tipsport extraligu}

Pro českou hokejovou extraligu jsem provedl jen zkrácenou analýzu,
na základě dat -- výsledků zápasů, které jsou k~dispozici na webových stránkách
\url{https://www.sport.cz/sekce/hokej-extraliga-vysledky-23}.

Porovnával jsem tytéž sezóny jako pro fotbal, resp. jejich základní části. Česká hokejová extraliga má (zpravidla) 14 týmů, hraje se čtyřikrát každý s~každým, tj. 52 kol po sedmi zápasech. Výjimkou byl ročník 2021/2022, kde bylo 15 týmů, takže se hrálo 60 kol (také po sedmi zápasech, 1 tým měl vždy volno). Základní část sezóny 2019/2020 se stihla dohrát p\v{r}ed vypuknutím pandemie (play-off se pak už nehrálo). V~sezóně 2020/2021 to bylo opět tak, že do \v{r}íjna 2020 byly počty diváků omezeny, \v{r}íjen se vynechal a~od listopadu se hrálo zcela bez diváků.

Porovnával jsem nyní jen počty vítězství domácích, po jednotlivých kolech (s~tím, že jsem zahrnul i~vítězství v~prodloužení či po nájezdech). Obrázek~\ref{obr6} porovnává tyto počty v~kolech sezón 2020/2021 a~2021/2022. Je vidět, že v~průměru je počet vítězství domácích men\v{s}í v~,,covidové`` sezóně. Průměry jsou 3,6538, 4,2167 (tomu odpovídá centrální linie v~grafu). Po vydělení sedmi dostanu relativní četnosti  0,5220 a~0,6024l.
Test jejich rovnosti (v~2$\times$2 kontingenční tabulce, viz 1. část Tabulky~\ref{tab4}) vede k~zamítnutí
této hypotézy, s~$p$-hodnotou 0,0235.

Pokud porovnávám sezónu 2020/2021 se v\v{s}emi čtyřmi ostatními, dostanu z~oněch 4 průměr 4,0833
vítězství domácích na 1 kolo,
tj. relativní četnost 0,5833, dohromady z~216 kol $\times$ 7 zápasů. I~v~p\v{r}íslu\v{s}né kontingenční tabulce
(2. část Tabulky~\ref{tab4}) hypotézu nezávislosti zamítám, s~$p$-hodnotou 0,0337.

\begin{table}[!b]
  \centering
\begin{tabular}{|l| c c| c|}
\hline
 Sezóna &Dom. výhry& Dom. prohry &  Součty  \\
 \hline
  2020/2021 &  \phantom{1}190   &174 &  \phantom{1}364 \\ 
  2021/2022 &  \phantom{1}253   & 167 & \phantom{1}420 \\ 
   \hline
 Součty  &   \phantom{1}443 & 341 &  \phantom{1}784  \\            
 \hline \hline
 2020/2021 &  \phantom{1}190  &  174 &   \phantom{1}364\\
 Ostatní & \phantom{1}882   & 630 &   1512\\
 \hline
 Součty  & 1072 & 804 & 1876 \\
  \hline
 \end{tabular}
\caption{Četnosti domácích výher a~proher.}
\label{tab4}
 \end{table}

 \begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{pvfig6-crop.pdf}
\caption{Počty domácích vítězství za $d=5$ kol po sedmi zápasech. Linie jsou průměr a~$+ -$
2 sigma, 3 sigma pásy, počítané bez ročníku 2020/2021.}
\label{obr7}
\end{figure}

Nabídnu je\v{s}tě jedno porovnání: Sečetl jsem počty domácích vítězství vždy za 5 kol (tj. za kola 1--5, 6--10, atd.), čili z~celkem 268 kol jsem dostal 53 hodnot, z~toho 10 hodnot odpovídalo sezóně 2020/2021.
Výsledek je na Obrázku~\ref{obr7}. Jeden bod tak odpovídá součtu 35 výsledků Bernoulliho pokusů.
P\v{r}i $n=35$ už s~touto veličinou mohu zacházet jako s~normální, a~snažím se ukázat, že ve zkoumané
sezóně má jiné charakteristiky. Graf to i~potvrzuje. Průměr pro sezónu 2020/2021 byl 18,2690, pro ostatní 20,4186. Směrodatné odchylky byly 1,5055 a~2,5841, mediány 19 a~20.

$F$-test zamítl rovnost rozptylů, s~$p= 0{,}0458$.
Hypotéza rovnosti st\v{r}edních hodnot byla pak testována pomocí přibližného t-testu pro různý rozptyl, s~$p=0{,}0015$,
ale i~testování shody mediánů testem Wilcoxona prokázalo jejich nerovnost (s~$p=0{,}0122$).
Takže tímto způsobem se poda\v{r}ilo prokázat, že v~sezóně 2020/2021 byla bilance vítězství domácích celků statisticky významně hor\v{s}í než v~sezónách ostatních. Ale i~za nep\v{r}ítomnosti diváků
působí domácí prost\v{r}edí motivačně, relativní četnost domácích vítězství byla stále nadpoloviční,
i~když pozorovaná proporce 0,5220, z~364 utkání, není statisticky významně odlišná od 0,5; $p$-hodnota jednostranného testu (v~rámci CLV pro binomické rozdělení) byla 0,2.


\section{Závěrečné poznámky}

Pr\r{u}zkumov\'{a} a~grafick\'{a} anal\'{y}za ukazuje zpravidla na pokles \'{u}sp\v{e}\v{s}nosti
dom\'{a}c\'{\i}ch t\'{y}m\r{u} (i~kdy\v{z} \'{u}sp\v{e}\v{s}nost je st\'{a}le nadpolovi\v{c}n\'{\i}). V\'{y}sledky
statistick\'{y}ch test\r{u} (hypot\'{e}z ,,sez\'{o}na 2020/2021 se neli\v{s}\'{\i}" v~ur\v{c}it\'{e}
charakteristice, se snahou je zam\'{\i}tnout) jsou většinou statisticky významné, a~někdy jen ,,na hran\v{e}" (typicky s~$p$-hodnotou kolem 0,1).
I~takový v\'{y}sledek
je cenn\'{y}, d\'{a} se interpretovat i~tak, \v{z}e dom\'{a}c\'{\i} v\'{y}hoda nespo\v{c}\'{\i}v\'{a}
jen v~podpo\v{r}e obecenstva na stadionu (zvl\'{a}\v{s}t\v{e} kdy\v{z} na v\v{e}t\v{s}inu
utk\'{a}n\'{\i} \v{c}esk\'{e} fotbalov\'{e} ligy chod\'{\i} b\v{e}\v{z}n\v{e} jen p\'{a}r tis\'{\i}c div\'{a}ků). I~Pollard (1986) ve svém rozboru uvádí diváky jen jako jeden z~faktorů výhody domácího 
prost\v{r}edí.
A~podobné závěry jsem na\v{s}el i~v~práci  Wunderlich et al. (2021), 
\cite{Wu}%
která už se taky zabývá důsledky
nep\v{r}ítomnosti diváků během pandemie:

,,More than 40,000 matches before and
during the pandemic, including more than 1,000 professional matches without spectators
across the main European football leagues, have been analyzed. Results support the notion
of a~crowd-induced referee bias: the increased sanctioning of away teams disappears in
the absence of spectators with regard to fouls $(p <0.001),$ yellow cards $(p <0.001),$
and red cards $(p <0.05)$. Moreover, the match dominance of home teams decreases significantly as indicated by shots $(p <0.001)$ and shots on target $(p <0.01).$``

Domnívám se, že počet faulů jednoho týmu souvisí s~aktivitou týmu druhého (je víc obranných zákroků, i~nečistých), není to tedy jen případný důsledek strannosti rozhodčích. Dále, ten významný pokles aktivity domácích týmů je trochu v~rozporu s~tím, že se to (podle autorů) neprojevilo dostatečně ve výsledcích, počtu gólů a~bodů:

,,However, in terms of the home advantage itself,
 surprisingly, only a~non-significant decrease has been found. Spectators thus do not
seem to be the main driving factor of the home advantage.``

Soudím, že mně se,
na ,,mých`` datech, poda\v{r}ilo prokázat statisticky významný pokles vlivu domácího prost\v{r}edí na výsledky.


%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\renewcommand{\refname}{Literatura}
\begin{thebibliography}{99}
\setlength\itemsep{0pt}

\bibitem{DC} Dixon, M.\,J., Coles, S.\,G. (1997): Modelling association
football scores and inefficiencies in the football betting market.
{\it Appl. Stat.} {\bf 46}, 265--280.

\bibitem{He} Hejdu\v{s}ek, M. (2007): {\it Matematické metody pro modelování a
predikci výsledků sportovních utkání.} DP na KM FJFI ČVUT v~Praze.

\bibitem{KN} Karlis, D., Ntzoufras, I. (2003): Analysis of sports data by
using bivariate Poisson models. {\it J. R. Stat. Soc.}  {\bf D  52},
381--394.

\bibitem{Ma} Maher, M.\,J. (1982): Modelling association football scores.
{\it Stat. Neerlandica} {\bf 36}, 109--118.

\bibitem{MV} Marek, P., Vávra, F. (2020): Comparison of Home Advantage in European
Football Leagues. {\it Risks} {\bf 87}.
\url{https://doi.org/10.3390/risks8030087}.
%doi:.

\bibitem{Po} Pollard, R. (1986): Home advantage in soccer: A~retrospective analysis.
{\it Journal of Sport Sciences} {\bf 4}, 237--248.

\bibitem{Ra} Rambousková, D. (2007): {\it Pravděpodobnostní modely a~metody pro analýzu
 sportovních výsledků}. DP na KPMS MFF UK v~Praze.

\bibitem{V1} Volf, P. (2008): On model for difference of two Poisson variables. {\it In: Proceedings of the ICPM 2008}, TU Liberec, 34--44.

\bibitem{V2} Volf, P. (2009): A~random point process model for the score in sport matches. {\it IMA Journal of Management Mathematics} {\bf 20}, 121--131.

\bibitem{V3} Volf, P. (2017): Competing risk model with a~non-traditional application. 
{\it Informační bulletin České statistické společnosti} {\bf 28}, 1, 1--11.

\bibitem{Wu} Wunderlich F., Weigelt M., Rein R., Memmert D. (2021): How does spectator presence
affect football? Home advantage remains in European top-class football matches played
	without spectators during the COVID-19 pandemic. {\it PLoS ONE} {\bf16}, 3: e0248590.
\url{https://doi.org/10.1371/journal.pone.0248590}.
%doi.org/10.1371/journal.pone.0248590.

\end{thebibliography}

