
\gdef\mujnazevCS{Lineární regresní model fuzzy \v{c}asov\'{e} \v{r}ady}
\gdef\mujnazevEN{Linear Regression Model of Fuzzy Time Series}
\gdef\mujnazevPR{\mujnazevCS}
\gdef\mujnazevDR{\mujnazevEN}
\gdef\mujauthor{Zdeněk Karpíšek, Veronika Lacinová, Jakub Šácha, Tomáš Pospíšil}

\bonushyper
\fboxrule=1pt
\fboxsep=0pt
\renewcommand\arraystretch{1.25}

\nazev{Lineární regresní model\\[2pt] fuzzy \v{c}asov\'{e} \v{r}ady}

\nazev{Linear Regression Model of\\[2pt] Fuzzy Time Series}

\author{Zdeněk Karpíšek$^1$, Veronika Lacinová$^2$, Jakub Šácha$^3$,\\Tomáš Pospíšil$^4$}

\Adresa{$^{1, 4}$Odbor statistiky a~optimalizace, Ústav
matematiky, Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické
v~Brně, Technická 2, 616\,69 Brno,\\ $^2$Katedra kvantitativních metod, Fakulta vojenského
leadershipu, Univerzita obrany v~Brně, Kounicova 156/65, 662\,10 Brno,\\ $^3$Ústav statistiky a~operační analýzy, Provozně
ekonomická fakulta, Mendelova univerzita v~Brně, Zemědělská 1, 613\,00
Brno.}

\Email{$^1$karpisek@fme.vutbr.cz, $^2$veronika.lacinova@unob.cz,\\ $^3$jakub.sacha@mendelu.cz, $^4$tomin.pos@seznam.cz}

\Abstrakt{V~příspěvku je pomocí fuzzy aritmetiky popsán vliv nepřesností na stanovení lineární aproximace trendu a~periodicity vývoje ekonomického ukazatele vyjádřeného časovou řadou. Je prezentováno spojení základního aparátu lineární regresní analýzy, fuzzy aritmetiky a~jeho užití pro výpočty odhadů fuzzy hodnot regresních koeficientů a~fuzzy hodnot pozorované časové řady.}
\smallskip
\KlicovaSlova{časová řada, lineární regresní funkce, fuzzy časová řada, fuzzy lineární regresní funkce, odhady}

\Abstract{This paper describes using fuzzy arithmetic an influence of inaccuracies to determine a~linear approximation of trend and periodicity of an economic indicator expressed by a~time series. The combination of the basic apparatus of linear regression analysis and fuzzy arithmetic is presented and its use for the calculation of estimates of fuzzy values of regression coefficients and fuzzy values of observed time series.}
\smallskip
\KeyWords{time series, linear regression function, fuzzy time series, fuzzy linear regression function, estimates}


%\newpage
\section{Úvod}
\label{uvod}
Motivací k~tomuto příspěvku bylo získat odhady trendové a~periodické složky časové řady z~expertních nebo statistických intervalových odhadů hodnot pozorované ekonomické veličiny (znaku, ukazatele), jejíž dynamiku vývoje tato časová řada popisuje, a~to pomocí regresní analýzy a~fuzzy aritmetiky. Důvodem k~fuzzy pojetí je skutečnost, že se v~praxi obvykle hodnoty časových ekonomických indikátorů berou jako zcela přesné a~nerespektuje se fakt, že jsou nepřesné z~důvodu působení např. inflace na cenu měnové jednotky, nepřesnosti měření apod. Závěry o~aproximaci
a~predikci dané časové řady z~těchto „nefuzzy`` hodnot proto nemusí odpovídat skutečnosti. Tento příspěvek je rozšířením výsledků popsaných v~\cite{KLSS} a~\cite{KDL}, kde jde o~vyjádření neurčitosti pozorovaných hodnot pomocí intervalové analýzy. Nově získané výsledky pomocí fuzzy modelování jsou popsány v~Oddílu \ref{fuzzy} a~\ref{fuzzyl} tohoto příspěvku.

\section{Lineární regresní model časové řady}
\label{linearni}
Známé pojmy a~jejich vlastnosti uvedené v~tomto oddílu je možno najít
např. v~\cite{And}, \cite{MR}, \cite{T}.

%\medskip
\itbf{Časová řada} je posloupnost reálných čísel $\vect x=(x_1,\ldots,x_n)$, kde $x_i=x(t_i)$ je pozorovaná hodnota náhodné veličiny $X_i$ v~čase $t_i,\ t_i<t_{i+1},\ i=1,\ldots,n-1$ a~$n>2$. 

%\medskip
\itbf{Lineární regresní funkce} má tvar $\textstyle x(t)=\sum_{j=1}^m\beta_jf_j(t),$ kde reálné funkce $f_j(t)$ reálné proměnné $t$ neobsahují neznámé parametry a~$\beta_j{},\ j=1,\ldots,m,$ jsou
\itbf{regresní koeficienty}.

%\medskip
\itbf{Lineární regresní model časové řady} $\vect x=(x_1,\ldots,x_n)$ je založen na předpokladu, že hodnoty časové řady jsou hodnoty náhodných veličin $X_i=\sum_{j=1}^m\beta_jf_j(t_i)+E_i,\ m<n$. Pro jednoduchost předpokládáme, že všechny náhodné veličiny $E_i$ mají nulovou střední hodnotu, stejný rozptyl a~jsou nekorelované, $i=1,\ldots,n$.

%\medskip
Lineární regresní funkce $x(t)=\sum_{j=1}^m\beta_jf_j(t)$ vyjadřuje obvykle trendovou složku dané časové řady $\vect x=(x_1,\ldots,x_n),$ ale může také současně zahrnovat její periodickou složku.

%\medskip
\itbf{Odhad hodnoty časové řady} v~čase $t$ pomocí regresní analýzy je funkce $\widehat x(t)=\sum_{j=1}^m b_jf_j(t),$ kde $b_j,\ j=1,\ldots,m,$ jsou \itbf{odhady regresních
koeficientů} $\beta_j$.

%\medskip
Pro odhady použijeme tyto matice:

\noindent
%\begin{itemize}
%\item
	$$%\everymath{\displaystyle}
	\vect F=\mlj\!
	\begin{array}{cccc}
		f_1(t_1) & f_1(t_2) & \cdots & f_1(t_n) \\
		\vdots   & \vdots   & \ddots & \vdots \\
		f_m(t_1) & f_m(t_2) & \cdots & f_m(t_n) \\
	\end{array}\!\mrj\!=\!\mlj\!
	\begin{array}{cccc}
		f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1n} \\
		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		f_{m1} & f_{m2} & \cdots & f_{mn} \\
	\end{array}\!\mrj\!,$$

% přesun


\noindent
%\item
	$$%\everymath{\displaystyle}
	\begin{aligned}[t]
	\vect G=\vect F\vect F^{\intercal}&=\!\mlj\!\!
	\begin{array}{cccc}
		\sum_{i=1}^nf_1^2(t_1) & \sum_{i=1}^nf_1(t_i)f_2(t_i) & \!\!\!\cdots & \!\!\!\sum_{i=1}^nf_1(t_i)f_m(t_i) \\
		\vdots   & \vdots & \!\!\!\ddots & \!\!\!\vdots \\
		\sum_{i=1}^nf_m(t_i)f_1(t_i) & \sum_{i=1}^nf_m(t_i)f_2(t_i) & \!\!\!\cdots & \!\!\!\sum_{i=1}^nf_m^2(t_i) \\
	\end{array}\!\!\!\!\mrj\\
	&=\!\mlj
	\begin{array}{cccc}
		g_{11} & g_{12} & \cdots & g_{1m} \\
		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		g_{m1} & g_{m2} & \cdots & g_{mm} \\
	\end{array}\mrj,
	\end{aligned}$$
%\end{itemize}	

% přesun
\noindent
%\begin{itemize}  
%\item
	$$%\everymath{\displaystyle}
	\vect g=\vect F\vect x^{\intercal}=\mlj
	\begin{array}{c}
		\sum_{i=1}^nf_1(t_i)x(t_i) \\
		\vdots \\
		\sum_{i=1}^nf_m(t_i)x(t_i) \\
	\end{array}\mrj
	=\mlj
	\begin{array}{c}
		g_{1} \\
		\vdots \\
		g_{m} \\
	\end{array}\mrj,$$


%\item
\noindent
	$$%\everymath{\displaystyle}
	\vect G^{-1}=\mlj
	\begin{array}{cccc}
		g^{11} & g^{12} & \!\cdots & \!g^{1m} \\
		\vdots & \vdots & \!\ddots & \!\vdots \\
		g^{m1} & g^{m2} & \!\cdots & \!g^{mm} \\
	\end{array}\!\mrj\!,\quad	
	\vect f(t)=\mlj
	\begin{array}{c}
		f_{1}(t) \\
		\vdots \\
		f_{m}(t) \\
	\end{array}\mrj\!,\quad
	\vect b=\!\mlj
	\begin{array}{c}
		b_{1} \\
		\vdots \\
		b_{m} \\
	\end{array}\mrj\!,$$
%\end{itemize}

\noindent
kde horní index $^\intercal$ značí transponovanou matici.

%\medskip
Dále předpokládáme, že matice \vect{F} má hodnost $m$, takže matice \vect{G} je regulární a~inverzní matice $\vect G^{-1}$ existuje. Následující odhady jsou získány tzv. \itbf{metodou nejmenších čtverců}.

%\medskip
Odhady regresních koeficientů $b_j,\ j=1,\ldots,m,$ jsou řešením soustavy normálních rovnic $\vect{Gb}=\vect g,$ takže
\[
	\vect b=\vect G^{-1}\vect g=\vect G^{-1}\vect{Fx}^\intercal
\]
a~vidíme, že odhady $b_j,\ j=1,\ldots,m,$ jsou lineárními funkcemi hodnot $x_i=x(t_i)$ pozorované časové
řady. Použitím uvedených matic dostaneme po úpravách
$\textstyle
	b_j=\sum_{i=1}^n c_{ji}x_i,
$
kde pro $j=1,\ldots,m$ je
$
	c_{ji}=\sum_{k=1}^m g^{jk}f_{ki}.
$

Odhad hodnoty časové řady v~čase $t$ je
\[
	\widehat x(t)=\vect f^\intercal(t)\vect b=\vect f^\intercal(t)\vect G^{-1}\vect g=\vect f^\intercal(t)\vect G^{-1}\vect{Fx}^\intercal.
\]

Tento odhad je zřejmě lineární funkcí hodnot pozorované časové řady $\vect x=(x_1,\ldots,x_n)$. Po
úpravách dostaneme
\[
	\widehat x(t)=\sum_{i=1}^n a_{i}(t)x_i,
\]
kde pro $i=1,\ldots,n$ je
\[
		a_i(t)=\vect f^\intercal(t)\vect G^{-1}\vect F=\sum_{j=1}^m f_j(t)\sum_{k=1}^m g^{jk}f_{ki}=\sum_{j=1}^m c_{ji}f_j(t).
\]


\section{Fuzzy čísla -- základní pojmy a~vlastnosti}
\label{fuzzy}
Modelování nepřesných hodnot reálných čísel pomocí fuzzy množin \cite{KY} a~\cite{M}, tj. jejich \itbf{fuzzifikace}, vychází z~následujících pojmů.

%\medskip
%$\sum\limits_{\substack{i=0 \\ i\neq 4}}^n i,\quad \underset{\sim}{A},\quad \fuzzyset A,\quad \fuzzyset x$

%This is $\frac{\utilde{ab}}{c},\quad \utilde A, \quad\utilde x,\quad \mu_{\utilde x},\quad $.

Fuzzy množina $\utilde x=(\memshipx,\R)$ se nazývá \itbf{(reálné) fuzzy číslo}, jestliže tato fuzzy množina je konvexní a~normální, a~funkce příslušnosti $\memshipx:\R\to[0;1]$ je po částech spojitá. Jestliže existuje právě jedno číslo $x\in\R$ takové, že $\memshipx(x)=1,$ pak $x$ je \itbf{hlavní hodnota} fuzzy čísla $\utilde x$. Je-li funkce příslušnosti $\memshipx$ spojitá, je $\utilde x$ \itbf{spojité fuzzy číslo}. Množinu všech fuzzy čísel na $\R$ značíme $\Re$. Klademe $x=\mls x\mrs$ pro $\forall x\in\R,$ takže každé reálné číslo $x$ je také fuzzy číslo. Podobně jako reálné fuzzy číslo definujeme \itbf{celé fuzzy číslo} apod.

%\medskip
Unární a~binární operace s~reálnými čísly fuzzifikujeme, tj. zavádíme \itbf{rozšířené unární} a~\itbf{binární operace} s~fuzzy čísly pomocí tzv. \itbf{Zadehova principu rozšíření}.

%\medskip
Jestliže $\varphi(x)$ je unární operace na \R, pak \itbf{rozšířená unární operace} $\varphi(\utilde x)$ na $\Re$ je fuzzy množina $\utilde y$ s~funkcí příslušnosti
\[
	\mu_{\utilde y}(y)=\sup_{\substack{x\\ \varphi(x)=y}}\memshipx(x).
\]
Speciálně pro bijekci $\varphi(x)$ je $\mu_{\utilde y}(y)=\memshipx\mlj\varphi^{-1}(y)\mrj.$

%\medskip
Jestliže je $x\star y$ binární operace na \R, pak \itbf{rozšířená binární operace} $\utilde x\circlestar \utilde y$ na $\Re$ je fuzzy množina $\utilde z$ s~funkcí příslušnosti
\[
	\mu_{\utilde z}(z)=\sup_{\substack{x,y\\ x\star y=z}}\mls\memshipx(x),\memship y(y)\mrs.
\]
Jestliže $\star$ je binární operace na \R, pak v~$\Re$ platí:
\begin{enumerate}[(a)] % (a), (b), (c), ...
\itemsep=-1pt
\item $\star$ komutativní $\Rightarrow\circlestar$ komutativní,
\item $\star$ asociativní $\Rightarrow\circlestar$ asociativní.
\end{enumerate}

Rozšířené aritmetické operace $\oplus,\otimes,\ominus,\oslash$ s~fuzzy čísly mají řadu analogických
vlastností jako aritmetické operace $+,\cdot,-,/$ včetně jejich priorit. Pro realizaci rozšířených operací $\oplus,\otimes,\ominus,\oslash$ pomocí $\alpha-$řezů spojitých fuzzy čísel lze použít tzv. \itbf{intervalovou aritmetiku} \cite{KDL}. Při fuzzifikaci „klasických`` číselných matematických modelů vytvářením adekvátních fuzzy modelů se používají vybrané třídy expertně stanovených
fuzzy čísel. Dostatečně flexibilním typem fuzzy čísel s~ohraničeným nosičem a~jednoprvkovým jádrem, tj. hlavní hodnotou, jsou pro naše účely spojitá fuzzy čísla definovaná následujícím způsobem.

%\medskip
Nechť $\Lambda:[0;1]\to[0;1]$ je spojitá rostoucí funkce taková, že $\Lambda(0)=0$ a~$\Lambda(1)=1.$ $\mathbf\Lambda-$\itbf{fuzzy číslem} $\utilde x=(x_l,x_m,x_r)_\Lambda,$ kde $x_l,x_m,x_r\in\R$ a~$x_l<x_m<x_r,$ rozumíme fuzzy číslo s~funkcí příslušnosti
\[
	\memshipx(x)=\begin{cases}
					\Lambda\mlj\dfrac{x-x_l}{x_m-x_l}\mrj, & x\in\mlh x_l,x_m\mrh,\\[10pt]
					\Lambda\mlj\dfrac{x_r-x}{x_r-x_m}\mrj, & x\in\mlh x_m,x_r\mrh,\\[10pt]
					\hfil 0, & \text{jinde.}
				 \end{cases}
\]

Funkce $\Lambda$ se nazývá \itbf{generátor} fuzzy čísla $\utilde x=(x_l,x_m,x_r)_\Lambda$ a~interval
$(x_l,x_r)$ je \itbf{nosič} tohoto fuzzy čísla. Platí:

\begin{enumerate}
	\item Jestliže $\utilde x=(x_l,x_m,x_r)_\Lambda$ a~$c\in\R$, pak \itbf{rozšířený násobek}
	\[
		c\utilde x=\begin{cases}
						(cx_l,cx_m,cx_r)_\Lambda, & \text{ když }c>0,\\
						(cx_r,cx_m,cx_l)_\Lambda, & \text{ když }c<0,\\
						\hfil 0, & \text{ když }c=0.
				   \end{cases}
	\]
	\item Jestliže $\utilde x=(x_l,x_m,x_r)_\Lambda$ a~$\utilde y=(y_l,y_m,y_r)_\Lambda$, pak \itbf{rozšířený součet}
	\[
		\utilde x\oplus\utilde y=\mlj x_l+y_l,x_m+y_m,x_r+y_r\mrj_\Lambda.
	\]
	\item Jestliže $\utilde x_i=(x_l,x_m,x_r)_\Lambda$ a~$a_i\in\R,\ i=1,\ldots,n,$ pak \itbf{rozšířená lineární kombinace} \\
	\begin{align*}
		\sum_{i=1}^na_i\;{\raisebox{1.1mm}{$\utilde{}$}\kern-1mm x_i}
    =&\mlj\sum_{\substack{i=1\\a_i>0}}^na_ix_{il}+\sum_{\substack{i=1\\a_i<0}}^na_ix_{ir},\sum_{i=1}^na_ix_{im},\sum_{\substack{i=1\\a_i>0}}^na_ix_{ir}+\sum_{\substack{i=1\\a_i<0}}^na_ix_{il}\mrj_\Lambda\\	 
		=&\mlj\sum_{i=1}^na_i\mlj\dfrac{1+\sgn(a_i)}{2}x_{il}+\dfrac{1-\sgn(a_i)}{2}x_{ir}\mrj\right.,\ %\\
		\sum_{i=1}^na_ix_{im},\\
		&\quad\left.\sum_{i=1}^na_i\mlj\dfrac{1+\sgn(a_i)}{2}x_{ir}+\dfrac{1-\sgn(a_i)}{2}x_{il}\mrj\mrj_\Lambda
		\\
		=&\mlj\sum_{i=1}^na_i\dfrac{x_{il}+x_{ir}}{2}-\sum_{i=1}^n\abs{a_i}\dfrac{x_{ir}-x_{il}}{2}\right.,\ %\\
		\sum_{i=1}^na_ix_{im},\\
		&\quad\left.\sum_{i=1}^na_i\dfrac{x_{il}+x_{ir}}{2}+\sum_{i=1}^n\abs{a_i}\dfrac{x_{ir}-x_{il}}{2}
		\mrj_\Lambda.
	\end{align*} % gather*
\end{enumerate}

\section{Fuzzy lineární regresní model fuzzy časové řady}
\label{fuzzyl}
Jestliže místo náhodných hodnot $x_i=x(t_i)$ časové řady $\vect x=(x_1,\ldots,x_n)$ uvažujeme fuzzy hodnoty $\utilde x_i,$ tj. fuzzy čísla, jejichž nosiče obsahují $x_i,\ i=1,\ldots,n,$ dostaneme
\itbf{fuzzy časovou řadu} $\utilde{\vect x}=(\utilde x_1,\ldots,\utilde x_n).$ Původní časovou řadu pozorovaných hodnot $x_i$ při praktických aplikacích fuzzifikujeme tak, že tyto hodnoty nahradíme fuzzy čísly $\utilde x_i$ a~to obvykle expertně.

%\medskip
\textbf{Fuzzy lineární regresní funkce} má tvar
\[
	\utilde x(t)=\sum_{j=1}^m \utilde\beta_{j}f_j(t),	
\]
kde funkce $f_j(t)$ neobsahují neznámé parametry a~$\utilde\beta_j,\ j=1,\ldots,m,$ jsou \itbf{fuzzy
regresní koeficienty}.

%\medskip
\itbf{Fuzzy lineární regresní model fuzzy časové řady} $\utilde{\vect x}=\mlj\utilde x_1,\ldots,\utilde x_n\mrj$ je
založený na předpokladu, že hodnoty fuzzy časové řady jsou fuzzy
náhodné veličiny stejně jako v~„nefuzzy`` případě.

%\medskip\noindent
Spojením výsledků z~Oddílů 
\ref{linearni} a~\ref{fuzzy}
%2. a~3. 
získáme snadno následující \itbf{fuzzy odhady}.

%\medskip
\itbf{Odhad fuzzy regresního koeficientu} $\utilde\beta_j,\ j=1,\ldots,m,$ je fuzzy číslo
\[
	\utilde b_j=\sum_{i=1}^nc_{ji}\utilde x_i,
\]
kde $c_{ji}=\sum\nolimits_{k=1}^mg^{jk}f_{kl}.$

%\medskip
\itbf{Odhad fuzzy hodnoty fuzzy časové řady} v~čase $t$ je
fuzzy číslo
\[
	\widehat{\utilde x}(t)=\sum_{j=1}^m\utilde b_jf_j(t)=\sum_{i=1}^na_i(t)\utilde x_i,
\]
kde pro $i=1,\ldots,n$ je $a_i(t)=\sum\nolimits_{j=1}^mc_{ji}f_j(t).$

%\medskip
Poznamenejme, že uvedené fuzzy odhady jsou sice „bodové``, ale mají charakter intervalových odhadů podobně jako při aplikaci lineárních
stochastických regresních modelů.

%\medskip
Jestliže všechny nosiče fuzzy čísel $\utilde x_i$ jsou ohraničené intervaly, pak je také nosič odhadu fuzzy hodnoty $\widehat{\utilde x}(t)$ ohraničený interval a~jeho délka je tzv. \itbf{šířka} $\delta(t)$ odhadu fuzzy hodnoty fuzzy časové řady v~čase $t$. Pro fuzzy hodnoty $\utilde x_i=\mlj x_{il},x_{im},x_{ir}\mrj_\Lambda$ pozorované časové řady je
\[
	\delta(t)=\sum_{i=1}^na_i(t)\, \sgn\mlj a_i(t)\mrj(x_{ir}-x_{il}).
\]

Fuzzifikaci pozorované časové řady $\vect x=(x_1,\ldots,x_n)$ provádíme ve dvou krocích:
\begin{enumerate}
\itemsep=-1pt
\item Zvolíme expertně tvar funkce příslušnosti $\Lambda-$fuzzy čísel $\utilde x_i=(x_{il}, x_{im},$ $x_{ir})_\Lambda$ pro fuzzifikaci hodnot $x_i$ časové řady výběrem vhodného generátoru $\Lambda$ pro $i=1,\ldots,n.$
\item Určíme hlavní hodnoty $\Lambda-$fuzzy čísel tak, že položíme $x_{im}=x_i$ a~expertně stanovíme krajní body nosičů $x_{il},x_{ir}$ $\Lambda-$fuzzy čísel $\utilde x_i=(x_{il},$ $x_{im},x_{ir})_\Lambda$ pro $i=1,\ldots,n.$
\end{enumerate}

\section{Příklad užití fuzzy lineárního regresního modelu}
Pro jednoduchost ilustrujeme předcházející výsledky na „školním`` příkladu neperiodické časové řady s~lineárním trendem. V~tomto případě
má regresní funkce tvar
\[
	x(t)=\beta_1+\beta_2t,
\]
takže $m=2,\ f_1(t)=1$ a~$f_2(t)=t$. Pro fuzzifikaci časové řady používáme bez újmy na obecnosti
nejčastěji aplikovaná \itbf{trojúhelníková fuzzy čísla} $\utilde x=(x_l,x_m,x_r)_\Lambda,$ jejichž generátor je $\Lambda(x)=x,$ takže mají funkci příslušnosti
\[
	\memshipx(x)=\begin{cases}
					\dfrac{x-x_l}{x_m-x_l}, & x\in\mlh x_l,x_m\mrh,\\[10pt]
					\dfrac{x_r-x}{x_r-x_m}, & x\in\mlh x_m,x_r\mrh,\\[10pt]
					\hfil 0, & \text{jinde.}
				 \end{cases}
\]

\noindent
Graf funkce příslušnosti trojúhelníkového fuzzy čísla je na Obrázku~\ref{fig:1}.

\begin{figure}[!htb]
%\begin{center}
\centering
  \includegraphics[trim=0 5mm 5mm 0, clip, width=0.6\textwidth]{Obr1}
  \caption{Graf funkce příslušnosti trojúhelníkového fuzzy čísla.}
  \label{fig:1}
\end{figure}

Zadání původní časové řady $\vect x=(x_1,\ldots,x_n)$ a~fuzzy časové řady $\utilde{\vect x}=(\utilde x_1,\ldots,\utilde x_n)$ po expertní fuzzifikaci nahrazením hodnot $x_i=x(t_i)$ fuzzy čísly $\utilde x_i=(x_{il},x_{im},x_{ir})_\Lambda,$ kde klademe $x_{im}=x_i,$ je pro $n=4$ v~Tabulce~\ref{tab:1}.

%\medskip
Jednoduchým výpočtem pomocí vzorců z~Oddílů 
\ref{linearni} a~\ref{fuzzyl}
%2 a~4 
dostaneme odhady fuzzy regresních koeficientů $\utilde\beta_1,\utilde\beta_2:$
%\vspace{-1mm}
\begin{align*}
	\utilde b_1&=(b_{1l},b_{1m},b_{1r})_\Lambda=(0;1{,}35;2{,}125)_\Lambda,\\
	\utilde b_2&=(b_{2l},b_{2m},b_{2r})_\Lambda=(-0{,}125;0{,}24;0{,}725)_\Lambda.
\end{align*}
%\vspace{-8mm}


Odhady hodnot fuzzy časové řady $\utilde x_i=(x_{il},x_{im},x_{ir})_\Lambda$ a~odhady hodnot $\widehat{\utilde x}(t)$ ve zvolených časech $t$ jsou v~Tabulce~\ref{tab:2}. Graf
%\vspace{-2mm}
%\newpage

\begin{itemize}[noitemsep]
\item nosičů (svislé tečkované čáry) fuzzy časové řady $\utilde x_i=(x_{il},x_{im},x_{ir})_\Lambda,$ 
\item hranic nosičů a~hlavních hodnot (spojité čáry) odhadů hodnot fuzzy časové řady,
\item vybraných nosičů a~hlavních hodnot odhadů (svislé plné čáry) z~Tabulky~\ref{tab:2} pro $t=0{,}5; 1{,}5; 2{,}5; 3{,}5; 4{,}5,$
\end{itemize}
%\vspace{-2mm}
je na Obrázku~\ref{fig:2}.


\begin{table}[!htb]
%\begin{center}
\centering
	\caption{Hodnoty původní a~fuzzifikované časové řady.}%
	\label{tab:1}%
	%\vspace{2mm}
	\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
		\hline
		$i$ & $t_i$ & $x_i$ & $x_{il}$ & $x_{im}$ & $x_{ir}$\\ \hline\hline
		1 & 1 & 1,7 & 0,75 & 1,7 & 2,00\\ \hline
		2 & 2 & 1,7 & 1,25 & 1,7 & 2,00\\ \hline
		3 & 3 & 2,0 & 1,50 & 2,0 & 2,50\\ \hline
		4 & 4 & 2,4 & 1,75 & 2,4 & 2,75\\ \hline
	\end{tabular}
%\end{center}
\end{table}
%\vspace{-4mm}


%\vspace{-2mm}
\begin{table}[!htb]
\centering
	\caption{Hodnoty fuzzy časové řady a~jejich odhady v~čase $t$.}
	%\vspace{2mm}
	\label{tab:2}
	\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		$i$ & $t$ & $x_{il}$ & $x_{im}$ & $x_{ir}$ & $\widehat x_{il}$ & $\widehat x_{im}$ &$\widehat x_{ir}$\\ \hline\hline
		1 & 1 & 0,75 & 1,7 & 2,00 & 0,6250 & 1,59 & 2,1000\\ \hline
		2 & 2 & 1,25 & 1,7 & 2,00 & 1,1500 & 1,83 & 2,1750\\ \hline
		3 & 3 & 1,50 & 2,0 & 2,50 & 1,4750 & 2,07 & 2,4500\\ \hline
		4 & 4 & 1,75 & 2,4 & 2,75 & 1,5500 & 2,31 & 2,9750\\ \hline
		-\/-\/- & 0,5 & -\/-\/- & -\/-\/- & -\/-\/- & 0,3125 & 1,47 & 2,1125\\ \hline
		-\/-\/- & 1,5 & -\/-\/- & -\/-\/- & -\/-\/- & 0,9375 & 1,71 & 2,0875\\ \hline
		-\/-\/- & 2,5 & -\/-\/- & -\/-\/- & -\/-\/- & 1,3125 & 1,95 & 2,3125\\ \hline
		-\/-\/- & 3,5 & -\/-\/- & -\/-\/- & -\/-\/- & 1,5750  & 2,19 & 2,6500\\ \hline
		-\/-\/- & 4,5 & -\/-\/- & -\/-\/- & -\/-\/- & 1,5250  & 2,43 & 3,3000\\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}


Na Obrázku~\ref{fig:3} je 3D graf odhadu fuzzy regresní přímky (trendu), zadané fuzzy časové řady a~odhadů fuzzy hodnot fuzzy časové řady vzhledem k~funkci příslušnosti.
%\vspace{-2mm}



Ze získaných výsledků je zřejmé, že odhady fuzzy regresních koeficientů a~odhad (vyrovnání, aproximace) fuzzy hodnot fuzzy časové řady respektují nepřesné hodnoty pozorované časové řady. V~daném příkladu ale
nosič odhadu fuzzy regresního koeficientu $\beta_2$ obsahuje záporné i~kladné hodnoty, takže daná časová řada může mít klesající anebo naopak rostoucí trend. Odhady pozorovaných fuzzy hodnot (svislé úsečky) časové řady dané pásmem mezi dolní a~horní lomenou čarou na Obrázku~\ref{fig:2} i~na Obrázku~\ref{fig:3} totiž obsahují všechny možné přímky vyjadřující trend této řady.



\begin{figure}[!p]
\centering
  \includegraphics[trim=3mm 0 0 0, clip, width=\textwidth]{Obr2}
  %\vspace{-8mm}
  \caption{Graf nosičů fuzzy časové řady a~odhadů hodnot fuzzy časové řady.}
  \label{fig:2}
\end{figure}
%\vspace{-5mm}

\begin{figure}[!p]
\centering
  \includegraphics[trim=32mm 15mm 40mm 5mm, clip, width=\textwidth]{Obr3}
  %\vspace{-12mm}
  \caption{3D graf funkce příslušnosti hodnot fuzzy časové řady (tečkovaná čára) a~odhadů hodnot fuzzy časové řady (plná čára).}
  \label{fig:3}
\end{figure}


%\vspace{-3mm}
\section{Závěr}
%\vspace{-2mm}
Slova trend, aproximace a~predikce jsou v~ekonomických úvahách a~modelech velmi často používaná a~z~hodnot vyjadřujících jejich velikost se vyvozují různé víceméně hlubokomyslné závěry. Jak však ukazuje uvedený, byť jenom školní příklad, mohou být tyto závěry zcela falešné. Jde sice pouze o~jednoduchý příklad, ale v~praxi bývá situace ještě horší. Chtěli jsme proto ukázat, že zanedbání nepřesností (chyb, šumu apod.). statistického nebo expertního zjišťování hodnot ekonomického nebo finančního sledovaného ukazatele a~podobně i~fyzikální veličiny v~čase, může vést k~velmi zkresleným závěrům. Popsané fuzzy modelování časových řad ale respektuje i~původní hodnoty časové řady, pokud je chceme považovat za přesné.
%\\[2mm]
\medskip

\noindent
\textit{Poděkování:} Těchto výsledků bylo dosaženo v rámci specifického výzkumu FSI-S-20-6187 \uv{Moderní metody aplikované matematiky} Fakulty strojního inženýrství Vysokého učení technického v~Brně. Příspěvek byl dále podpořen institucionálním financováním výzkumu Fakulty vojenského leadershipu Univerzity obrany v Brně.

%\newpage
%\enlargethispage{5mm}
\renewcommand{\refname}{Literatura}
%\vspace{-3mm}
\begin{thebibliography}{9}
\setlength\itemsep{-1pt}

\bibitem{And}
  Anděl, J. (2011): \textit{Základy matematické statistiky}. 3. vyd.
  Praha: Mat\-fyz\-press, 2011. 358 s. ISBN 978-80-7378-162-0.

\bibitem{KLSS}
  Karpíšek, Z., Lacinová, V., Sadovský, Z., Schneider, A. (2016): Is the
  Increasing Trend Always Really Increasing? MENDEL 2016 --
  22\textsuperscript{th} International Conference on Soft Computing.
  Brno, 2016. \emph{Mendel Series}, Volume 2016, p. 229--234. ISSN
  1803-3814, ISBN 978-80-214-5365-4.

\bibitem{KDL}
  Karpíšek, Z., Dražanová, M., Lacinová, V. (2019): Lineární regresní
  model intervalové časové řady. \textit{ACTA STING}, 1/2019, p. 24--35.\\
  ISSN 1805-6873.

\bibitem{KY}
  Klir, G.\,J., Yuan Bo. (1995): \textit{Fuzzy Sets and Fuzzy Logic --
  Theory and Applications.} New Jersey: Prentice Hall, 1995. ISBN
  0-13-101171-5.

\bibitem{M}
  Mareš, M. (1994): \textit{Computation over Fuzzy Quantities}. Boca
  Raton: CRC Press, 1994. ISBN 978-08-493-7635-1.

\bibitem{MR}
  Montgomery, D.\,C., Runger, G. (2010): \textit{Applied Statistics and
  Probability for Engineers.} 5th ed. New York: John Wiley, 2010. 784 s.\\
  ISBN 978-0-470-05304-1.

\bibitem{T}
  Tsay, R.\,S. (2010): \textit{Analysis of Financial Time Series}. New
  York: John Wiley, 2010. 672 s. ISBN 978-0-470-64455-3.    

\end{thebibliography}
