\gdef\mujnazevCS{Několik poznámek k~závislosti náhodných jevů}
\gdef\mujnazevEN{A few notes on the dependence of random events}
\gdef\mujnazevPR{\mujnazevCS}
\gdef\mujnazevDR{\mujnazevEN}
\gdef\mujauthor{Zdeněk Karpíšek, Tomáš Pospíšil}

\bonushyper

\nazev{Několik poznámek k~závislosti\\[2pt] náhodných jevů}

\nazev{A~few notes on the dependence of\\[2pt] random events}

\author{\mujauthor}

\Adresa{Odbor statistiky a~optimalizace, Ústav
matematiky, Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v~Brně, Technická 2, 616\,69 Brno}

\Email{karpisek@fme.vutbr.cz, tomin.pos@seznam.cz}

\Abstrakt{Příspěvek je zaměřený na popis charakteristik závislosti náhodných jevů, kterými jsou jejich koeficienty korelace a~regrese a~další míry kompatibility. Jde o~pojmy, se kterými se posluchač základního kurzu z~teorie pravděpodobnosti a~matematické statistiky takřka jistě nepotká a~které nejsou ani v~převážné většině učebnic. Jedná se přitom o~míry závislosti náhodných jevů, které se snadno počítají a~mají zajímavé vlastnosti. Navíc mohou nalézt uplatnění v~inferenčních statistických metodách, když pravděpodobnosti náhodných jevů odhadneme pomocí pozorovaných relativních četností jejich nastoupení.}
\smallskip
\KlicovaSlova{náhodné jevy, Bernštejnovy charakteristiky závislosti, odhady rozdělení pravděpodobnosti, Monte Carlo simulace}

\Abstract{The paper is focused on the description of the characteristics of the dependence of random events, which are their correlation and regression coefficients and other measures of compatibility. These are terms that a~student of a~basic course in probability theory and mathematical statistics will almost certainly not encounter and which are not even in the vast majority of textbooks. These are measures of dependence of random phenomena that are easy to calculate and have interesting properties. In addition, they can find application in inferential statistical methods, when the probabilities of random events are estimated using the observed relative frequencies of their occurrence.
}
\smallskip
\KeyWords{random events, Bernštejn's characteristics of dependence, estimates of probability distribution, Monte Carlo simulation}


\section{Úvod}
Charakteristiky závislosti náhodných jevů, kterými se v~tomto článku zabýváme, vychází jednak z~pojmů korelace a~regrese náhodných veličin a~dále pak z~měr asociace kategoriálních veličin. V~literatuře se uvádí, že definici nezávislých náhodných jevů tak, jak ji známe a~používáme, zavedl podle A.\,N. Kolmogorova až ve dvacátých letech dvacátého století matematik S.\,N. Bernštejn. Podle článku \cite{Krengel} byl prvním autorem axiomatické definice pravděpodobnosti i~nezávislosti náhodných jevů G. Bohlmann, který tyto pojmy uvádí ve své stati \cite{Bohlmann} už v~roce 1900. Zde ovšem není náhodný jev prvkem borelovského jevového pole jako u~A.\,N. Kolmogorova, ale je vymezen pouze slovně a~citujeme: \uv{pravděpodobnost nastoupení jevu $E$ je kladný pravý zlomek $p(E)$ spojený s~$E$}. Ostatní definice a~axiomy jsou blízké pozdějšímu Kolmogorovovu pojetí \cite{Kol} z~roku 1933 a~nezávislost náhodných jevů je definována rovněž pomocí podmíněné pravděpodobnosti.
 
Náš zájem o~míry závislosti dvojic náhodných jevů vzbudily informace z~několika stránek znamenité knihy V.\,I. Glivenka \cite{Gliv}, kde bohužel není žádný odkaz, ale dostali jsme se až k~učebnici S.\,N. Bernštejna \cite{Bern} z~roku 1927. V~této knize jsme však nenašli žádné další odkazy na literární zdroje, a~proto prezentujeme odtud převzaté charakteristiky závislosti náhodných jevů jako charakteristiky Bernštejnovy. Chování těchto charakteristik v~závislosti na velikosti pravděpodobností dvou náhodných jevů a~pravděpodobnosti jejich průniku jsme simulovali metodou Monte Carlo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Charakteristiky závislosti dvou náhodných jevů}
\label{oddil2}%
V~dalším předpokládáme, že je dán \cite{Renyi} pravděpodobnostní prostor $(\Omega,P,\Sigma),$ kde $\Omega$ značí základní prostor, $P$ pravděpodobnost a~$\Sigma$ borelovské jevové pole na $\Omega$. Náhodné jevy $A,B\in\Sigma$ jsou \itbf{nezávislé}, jestliže $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ nebo $P(A)=0;1$, resp. $P(B)=0;1$. Případy, kdy aspoň jedna pravděpodobnost $P(A),P(B)$ má hodnotu $0$ nebo $1$ ze svých úvah o~nezávislosti náhodných jevů $A,B$ bez újmy na obecnosti vynecháme. Připomeňme, že když $P(A),P(B)\neq0$, pak náhodné jevy $A,B$  jsou nezávislé, právě když pro podmíněné pravděpodobnosti je  $P(A\vert B)=P(A)$, resp. $P(B\vert A)=P(B).$

Bernštejn v~\cite{Bern} definuje následující číselné charakteristiky závislosti náhodných jevů. Jejich označení jsme mírně \uv{zmodernizovali} oproti originálům uvedených v~\cite{Bern} a~částečně i~\cite{Gliv}.

\begin{enumerate}
\item \itbf{Koeficient koherence} (ruský originál \textit{koefficient sovmestimosti}) náhodných jevů $A,B$ je definován vzorcem
\[
	\lambda(A,B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)P(B)}
\]
a~nabývá libovolných nezáporných hodnot. Hodnota $\lambda(A,B)=1$ odpovídá nezávislosti náhodných jevů $A,B$ a~ostatní hodnoty popisují úroveň jejich závislosti. Hodnota $\lambda(A,B)<1$ vyjadřuje to, že při nastoupení jednoho jevu se zmenší pravděpodobnost nastoupení druhého jevu; speciálně pro disjunktní jevy je $\lambda(A,B)=0$, naopak hodnota $\lambda(A,B)>1$ vyjadřuje skutečnost, že při nastoupení jednoho jevu se zvětší pravděpodobnost nastoupení druhého jevu. Z~vlastností koeficientu koherence uvádíme, že 
\[
	\frac{P(A\vert B)}{P(A)}=\frac{P(B\vert A)}{P(B)}=\lambda(A,B).
\]

\item \itbf{Koeficient kompatibility} (ruský originál \textit{svjaz}) náhodných jevů $A,B$ je definován vzorcem
\[
	\delta(A,B)=P(A\cap B)-P(A)P(B)
\]
a~dá se dokázat, že nabývá hodnot z~intervalu $\mlh-0{,}25;0{,}25\mrh$. Náhodné jevy $A,B$ jsou nezávislé, právě když $\delta(A,B)=0.$ Ostatní hodnoty popisují úroveň a~charakter (\uv{směr}) závislosti náhodných jevů $A,B$. Hodnota $\delta(A,B)<0$ vyjadřuje to, že při nastoupení jednoho jevu se zmenší pravděpodobnost nastoupení druhého jevu, naopak hodnota $\delta(A,B)>0$ odpovídá tomu, že při nastoupení jednoho jevu se zvětší pravděpodobnost nastoupení druhého jevu. Koeficient kompatibility má řadu zajímavých vlastností, např. platí:
% https://tex.stackexchange.com/questions/3782/how-can-i-split-an-equation-over-two-or-more-lines
\begin{multline*}
	\delta(A,B)=P(A)\mlh P(B\vert A)-P(B)\mrh=P(B)\mlh P(A\vert B)-P(A)\mrh\\
		=\begin{vmatrix} 
			P(A\cap B) & P(\overline A\cap B) \\ 
			P(A\cap \overline B) & P(\overline A\cap \overline B) 
		\end{vmatrix}.
\end{multline*}

\item \itbf{Koeficient korelace} náhodných jevů $A,B$ je definován vzorcem
\[
	\rho(A,B)=\frac{\delta(A,B)}{\sqrt{P(A)P(\overline A)P(B)P(\overline B)}}
\]
a~nabývá hodnot z~intervalu $[-1;1]$. Zřejmě je
\[
	\rho(A,B)=\frac{P(A\cap B)-P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)(1-P(A))P(B)(1-P(B))}}.
\]

Koeficient korelace náhodných jevů je významná a~inspirativní charakteristika míry závislosti těchto jevů a~má stejné vlastnosti jako koeficient asociace $\delta(A,B)$. Náhodné jevy $A,B$  jsou nezávislé, právě když  $\rho(A,B)=0$ a~ostatní hodnoty popisují úroveň a~charakter jejich závislosti. Hodnota  $\rho(A,B)< 0$ vyjadřuje to, že při nastoupení jednoho jevu se zmenší pravděpodobnost nastoupení druhého jevu, naopak hodnota $\rho(A,B)>0$ odpovídá tomu, že při nastoupení jednoho jevu se zvětší pravděpodobnost nastoupení druhého jevu. Poznamenejme, že koeficient korelace náhodných jevů uvádí i~Glivenko v~\cite{Gliv}. Platí \cite{Bern,Gliv}, že
\[
	\rho(A,B)=-\rho(\overline A,B)=-\rho(A,\overline B)=\rho(\overline A,\overline B)
\]
a~také např.
\begin{multline*}
	\rho(A,B)=\mlh P(A\vert B)-P(A)\mrh\sqrt{\frac{P(B)}{P(A)P(\overline A)P(\overline B)}}\\
	=\mlh P(B\vert A)-P(B)\mrh\sqrt{\frac{P(A)}{P(\overline A)P(B)P(\overline B)}}.
\end{multline*}

Koeficient korelace $\rho(A,B)=1$, právě když $P(A)=P(B)=P(A\cap B)$ a~$\rho(A,B)=-1$, právě když $P(A)=P(\overline B)=P(A\cap\overline B)$. Přidejme ještě další zajímavé vlastnosti, které nejsou v~\cite{Bern,Gliv}:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Jestliže jsou náhodné jevy $A,B$ disjunktní, tj. $A\cap B=\emptyset$, pak
\[
	\rho(A,B)=-\sqrt{\frac{P(A)P(B)}{P(\overline A)P(\overline B)}}<0.
\]

\item 	Jestliže nastoupení náhodného jevu $A$ má za následek nastoupení náhodného jevu $B$, tj. $A\subseteq B$, pak 
\[
	\rho(A,B)=\sqrt{\frac{P(A)P(\overline B)}{P(\overline A)P(B)}}>0.
\]
\end{enumerate}

\item \itbf{Regresní koeficient} náhodného jevu $A$ vzhledem k~náhodnému jevu $B$ je dán vzorcem
\[
	\gamma_B(A)=P(A\vert B)-P(A\vert \overline B)=\frac{\delta(A,B)}{P(B)P(\overline B)}.
\]
Analogicky definujeme regresní koeficient náhodného jevu $B$ vzhledem k~náhodnému jevu $A$
\[
	\gamma_A(B)=P(B\vert A)-P(B\vert \overline A)=\frac{\delta(A,B)}{P(A)P(\overline A)}.
\]

Oba regresní koeficienty mají co do hodnot a~znaménka stejné vlastnosti jako koeficient asociace $\delta(A,B)$ a~dá se dokázat, že nabývají hodnot z~intervalu $[-1;1]$. Poznamenejme, že regresní koeficienty náhodných jevů uvádí i~Glivenko v~\cite{Gliv}. Regresní koeficienty $\gamma_B(A)$ a~$\gamma_A(B)$ se obecně nerovnají, ale $\gamma_B(A)=\gamma_A(B)$, právě když $P(A)=P(B)$, anebo $P(A)=P(\overline B)$. Platí, že
\[
\begin{gathered}
	\sgn\bigl(\gamma_B(A)\bigr)=\sgn\bigl(\gamma_A(B)\bigr)=\sgn\bigl(\rho(A,B)\bigr),\\[2mm]
	\rho(A,B)=\gamma_B(A)\sqrt{\frac{P(B)P(\overline B)}{P(A)P(\overline A)}}=\gamma_A(B)\sqrt{\frac{P(A)P(\overline A)}{P(B)P(\overline B)}},\\[2mm]
	\rho^2(A,B)=\gamma_B(A)\gamma_A(B).
\end{gathered}
\]

\item \itbf{Koeficient asociace} (ruský originál \textit{koefficient svjazi}) mezi náhodnými jevy $A,B$ je definován vzorcem 
\[
	Q(A,B)=\frac{\delta(A,B)}{P(A\cap B)P(\overline A\cap\overline B)+P(A\cap \overline B)P(\overline A\cap B)}.
\]
Koeficient asociace má co do hodnot a~znaménka stejné vlastnosti jako koeficient kompatibility a~koeficient korelace a~nabývá hodnot z~intervalu $[-1;1]$. Z~více vztahů z~\cite{Bern} uvádíme bez důkazu či odvození některé zajímavé a~významné. Platí, že 
\[
\begin{gathered}
	\sgn\bigl(Q(A,B)\bigr)=\sgn\bigl(\rho(A,B)\bigr)=\sgn\bigl(\gamma_B(A)\bigr)=\sgn\bigl(\gamma_A(B)\bigr),\\[2mm]
	\abs{Q(A,B)}\geq\abs{\rho(A,B)},\ \abs{Q(A,B)}\geq\abs{\gamma_B(A)},\ \abs{Q(A,B)}\geq\abs{\gamma_A(B)},\\[2mm]
	Q(A,B)=\frac{\gamma_B(A)}{1-\mlh P(A\vert B)P(A\vert\overline B)+P(\overline A\vert B)P(\overline A\vert\overline B)\mrh}\\[2mm]
	=\frac{\gamma_A(B)}{1-\mlh P(B\vert A)P(B\vert\overline A)+P(\overline B\vert A)P(\overline B\vert\overline A)\mrh}.
\end{gathered}
\]
\end{enumerate}

%\medskip
Charakteristiky koeficient koherence $\lambda(A,B)$, koeficient kompatibility\linebreak $\delta(A,B)$, koeficient korelace $\rho(A,B)$ a~koeficient asociace $Q(A,B)$ jsou vzhledem k~náhodným jevům $A,B$ symetrické, avšak regresní koeficienty $\gamma_B (A)$ a~$\gamma_A(B)$ symetrické nejsou. Důležitou vlastností charakteristik je jejich citlivost a~současně schopnost vyjádření míry závislosti náhodných jevů $A,B$. Podle Bernštejna \cite{Bern} je z~tohoto pohledu nejlepší koeficient asociace $Q(A,B)$.

%\medskip
Bernštejn \cite{Bern} ani Glivenko \cite{Gliv} neuvádí motivace definic koeficientu korelace $\rho(A,B)$ a~regresních koeficientů $\gamma_B(A), \gamma_A(B)$. Tyto motivace lze vyvodit z~definic koeficientu korelace a~regresních koeficientů složek dvourozměrného diskrétního náhodného vektoru $(X,Y)$. Předpokládejme, že složky tohoto vektoru nabývají hodnoty $0$ a~$1$ a~vektor má pravděpodobnostní funkcí $p(x,y)$ v~následující tabulce:

\newcommand{\vboldcolored}{{\color{black}\vline width 2pt}}
\begin{table}[!hbt]
	\centering\normalsize
	\tabcolsep=10pt
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	{\catcode`\-=12
		\begin{tabular}{!{\vrule width 2pt}g|C{15mm}|C{15mm}|C{15mm}!{\vrule width 2pt}}
			\hlinewd{2pt}
			\rowcolor{lightgray} 
			& \multicolumn{3}{c!{\vrule width 2pt}}{$Y$} \\ 
			\arrayrulecolor{lightgray} 
			\specialrule{6pt}{0pt}{-6pt} 
			\arrayrulecolor{black}	
			\hhline{>{\vboldcolored}>{\arlg}->{\arb}|---|}
			\rowcolor{lightgray}	
			\multirow{-2}{*}{$X$} & $1$ & $0$ & $\Sigma$ \\
			\hline
			$1$ & $p_{11}$ & $p_{12}$ & $p_{1\mydot}$ \\\hline
			$0$ & $p_{21}$ & $p_{22}$ & $1-p_{1\mydot}$ \\\hline
			$\Sigma$ & $p_{\mydot1}$ & $1-p_{\mydot1}$ & $1$ \\
			\hlinewd{2pt}
	\end{tabular}}
\end{table}

\noindent
Číselné charakteristiky našeho náhodného vektoru jsou \cite{Renyi}:
\begin{itemize}
\item střední hodnota  $E(X)=p_{1\mydot}1+\mlj1-p_{1\mydot}\mrj0=p_{1\mydot}$ a~podobně $E(Y)=p_{\mydot1}$,

\item rozptyl $\sigma^2(X)=p_{1\mydot}1^2+(1-p_{1\mydot})0^2-p_{1\mydot}^2=p_{1\mydot}-p_{1\mydot}^2$ a~podobně $\sigma^2(Y)=p_{\mydot1}-p_{\mydot1}^2$,

\item kovariance $\displaystyle\text{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=p_{11}1\cdot1+p_{12}0\cdot1+p_{21}1\cdot0+p_{22}0\cdot0-p_{1\mydot}p_{\mydot1}=p_{11}-p_{1\mydot}p_{\mydot1}$,

\item koeficient korelace $$\displaystyle\rho(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}=\cdots=\frac{p_{11}-p_{1\mydot}p_{\mydot1}}{\sqrt{p_{1\mydot}\mlj1-p_{1\mydot}\mrj p_{\mydot1}\mlj1-p_{\mydot1}\mrj}}.$$
\end{itemize}

Koeficient regrese náhodné veličiny $X$ vzhledem k~náhodné veličině $Y$ je směrnice regresní přímky, jejíž rovnice \cite{And} je $(x-E(X))= \gamma_Y(X)(y-E(Y))$ a~pro náš náhodný vektor je $\displaystyle\gamma_Y(X)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma^2(Y)}=\frac{p_{11}-p_{1\mydot} p_{\mydot1}}{p_{\mydot1}\mlj1-p_{\mydot1}\mrj}$. Podobně koeficient regrese náhodné veličiny $Y$ vzhledem k~náhodné veličině $X$ je $\displaystyle\gamma_X(Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma^2(X)}=\frac{p_{11}-p_{1\mydot} p_{\mydot1}}{p_{1\mydot}\mlj1-p_{1\mydot}\mrj}$. 

%\pagebreak
\noindent
Jestliže přiřadíme nastoupení:
\begin{itemize}
\item náhodného jevu $A$ hodnotu náhodné veličiny $X=1$,
\item opačného náhodného jevu $\overline A$ hodnotu náhodné veličiny $X=0$, 
\item náhodného jevu $B$ hodnotu náhodné veličiny $Y=1$, 
\item opačného náhodného jevu $\overline B$ hodnotu náhodné veličiny $Y=0$,
\item náhodného jevu $A\cap B$ hodnotu náhodného vektoru $(X,Y)=(1;1)$,
\item náhodného jevu $A\cap \overline B$ hodnotu náhodného vektoru $(X,Y)=(1;0)$,
\item náhodného jevu $\overline A\cap B$ hodnotu náhodného vektoru $(X,Y)=(0;1)$,
\item náhodného jevu $\overline A\cap \overline B$ hodnotu náhodného vektoru $(X,Y)=(0;0)$,
\end{itemize}
obdržíme z~tabulky s~pravděpodobnostní funkcí náhodného vektoru $(X,Y)$  pravděpodobnosti 
\[
P(A)=p_{1\mydot},\ P(\overline A)=1-p_{1\mydot},\ P(B)=p_{\mydot1},\ P(\overline B)=1-p_{\mydot1},\ P(A\cap B)= p_{11}.
\]

Ze známého vzorce \cite{And} pro koeficient korelace náhodného vektoru $\rho(X,Y)$ potom dostaneme definiční vzorec pro koeficient korelace $\rho(A,B)$ náhodných jevů $A,B$ a~podobně ze vzorců \cite{And} pro regresní koeficienty $\gamma_Y(X)$ a~$\gamma_X(Y)$ získáme definiční vzorce pro regresní koeficienty $\gamma_B(A)$ a~$\gamma_A(B)$ náhodných jevů $A,B$. Pro koeficient asociace $Q(A,B)$ se nám podobný motivační vzorec najít nepodařilo, ale řadou rešerší jsme zjistili, že tento koeficient uvádí již v~roce 1900 G.\,U. Yule \cite{Yule}. Domníváme se, že tento koeficient je založen na tzv. \itbf{poměru šancí} nastoupení náhodných jevů $A,B$
\[
	\theta=\frac{P(A)/P(\overline A)}{P(B)/P(\overline{B})},
\]
který lze také vyjádřit ve tvaru \cite{Agresti, And}
\[
	\theta=\frac{P(A\cap B)P(\overline{A}\cap\overline B)}{P(A\cap\overline B)P(\overline{A}\cap B)}.
\]

Platí, že $\theta\in\mlh 0;\infty\mrh$, přičemž hodnota $\theta<1$ odpovídá negativní závislosti a~hodnota $\theta>1$ pozitivní závislosti náhodných jevů $A,B$. Dále je $\theta=1,$ právě když jsou náhodné jevy $A,B$ nezávislé. Snadno lze dokázat, že koeficient asociace je pak
\[
	Q=\frac{\theta-1}{\theta+1}.
\]

Platí, že $Q\in\mlh-1;1\mrh$, přičemž hodnota $Q<0$ odpovídá negativní závislosti a~hodnota $Q>0$ pozitivní závislosti náhodných jevů $A,B$. Dále je $Q=0$, právě když jsou náhodné jevy $A,B$ nezávislé. Označení koeficientu asociace písmenem $Q$ údajně zvolil Youle na počest svého přítele, belgického statistika a~astronoma A. Queteleta.

%\medskip
Všechny charakteristiky závislosti náhodných jevů $A,B$ jsou jenom funkcemi $P(A),P(B)$ a~$P(A\cap B)$. Hodnoty pravděpodobností $P(A\cap\overline B),P(\overline A\cap B)$ a~$P(\overline A\cap\overline B)$ potřebné pro výpočet koeficientu asociace můžeme snadno určit pomocí $P(A), P(B)$ a~$P(A\cap B)$ z~výše uvedené tabulky s~pravděpodobnostní funkcí $p(x,y)$ náhodného vektoru $(X,Y)$.

Následující příklad má spíše ilustrační a~\uv{školní} charakter. Poznamenejme, že při zadávání pravděpodobností $P(A), P(B)$ a~$P(A\cap B)$ musíme nutně dodržet podmínky, které vyplývají ze základních vlastností pravděpodobnosti. Musí být 
\[
\begin{gathered}
	P(A\cap B)\leq P(A),\quad %\\[1mm]
	P(A\cap B)\leq P(B),
\end{gathered}
\]
a~protože je $P(A\cup B)\leq1$, musí také být
\[
	P(A)+P(B)\leq1+P(A\cap B).
\]

Pokud se ale jedná o~pravděpodobnosti získané z~rozdělení pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny, jsou tyto podmínky apriori splněné, jestliže náhodné jevy $A,B$ a~$A\cap B$ odpovídají uvažovaným množinám hodnot této náhodné veličiny.

%\pagebreak
\bigskip
\noindent
\textbf{Příklad.} Pro ukázku Bernštejnových charakteristik závislosti náhodných jevů $A,B$ volíme hodnoty pravděpodobností $P(A), P(B)$ a~$ P(A\cap B)$ uvedené v~Tabulce~\ref{prvni}.
\begin{table}[!hbt]
	\centering\normalsize
  \caption{Hodnoty pravděpodobností.}
  \label{prvni}
	\tabcolsep=5pt
	\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
	\begin{tabular}{!{\vrule width 2pt}g|C{15mm}|C{15mm}|C{15mm}!{\vrule width 2pt}}
			\hlinewd{2pt} 
			\rowcolor{lightgray}
			\# & $P(A)$ & $P(B)$ & $P(A\cap B)$ \\ 
			\hline 
			1 & 0,3 & 0,4 & 0,12 \\\hline 
			2 & 0,5 & 0,6 & 0,30 \\\hline  
			3 & 0,7 & 0,9 & 0,63 \\\hline  
			4 & 0,3 & 0,4 & 0 \\\hline  
			5 & 0,3 & 0,7 & 0 \\\hline  
			6 & 0,3 & 0,6 & 0 \\\hline  
			7 & 0,3 & 0,6 & 0,1 \\\hline  
			8 & 0,3 & 0,6 & 0,2 \\\hline
			9 & 0,3 & 0,6 & 0,3 \\\hline
		   10 & 0,4 & 0,6 & 0,4 \\\hline
		   11 & 0,6 & 0,7 & 0,4 \\\hline
		   12 & 0,6 & 0,7 & 0,6 \\\hline
		   13 & 0,3 & 0,4 & 0,2 \\\hline
		   14 & 0,5 & 0,5 & 0,5 \\\hline
		   15 & 0,8 & 0,9 & 0,7 \\
			\hlinewd{2pt}
		\end{tabular}
\end{table}
Vypočtené hodnoty charakteristik jsou uvedené v Tabulce~\ref{druha}.
%v~níže uvedené tabulce:
%\begingroup
%\shorthandon{-}\def-{$-$}%
\begin{table}[!hbt]
\caption{Vypočtené hodnoty charakteristik.}
\label{druha}%
\centering\normalsize
\tabcolsep=5pt%
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}%
\begin{tabular}{!{\vrule width 2pt}g|C{13mm}|C{13mm}|C{15mm}|C{15mm}|C{15mm}|C{15mm}!{\vrule width 2pt}}
\hlinewd{2pt} 
\rowcolor{lightgray}
\# & $\lambda(A,B)$ & $\delta(A,B)$ & $\rho(A,B)$ & $\gamma_B(A)$ & $\gamma_A(B)$ & $Q(A,B)$ \\ 
\hline 
 1 & 1       &  0    &  0       &  0       &  0       &  0\\\hline  
 2 & 1       &  0    &  0       &  0       &  0       &  0\\\hline  
 3 & 1       &  0    &  0       &  0       &  0       &  0\\\hline  
 4 & 0       & $-$0,12 & $-$0,53452 & $-$0,5     & $-$0,57143 & $-$1\\\hline
 5 & 0       & $-$0,21 & $-$1       & $-$1       & $-$1       & $-$1\\\hline
 6 & 0       & $-$0,18 & $-$0,80178 & $-$0,75    & $-$0,85714 & $-$1\\\hline
 7 & 0,55556 & $-$0,08 & $-$0,35635 & $-$0,33333 & $-$0,38095 & $-$0,66667\\\hline
 8 & 1,11111 &  0,02 & $-$0,08909 &  0,08333 &  0,09524 &  0,2\\\hline
 9 & 1,66667 &  0,12 &  0,53452 &  0,5     &  0,57143 &  1\\\hline
10 & 1,66667 &  0,16 &  0,66667 &  0,66667 &  0,66667 &  1\\\hline
11 & 0,95238 & $-$0,02 & $-$0,08909 & $-$0,09524 & $-$0,08333 & $-$0,2\\\hline
12 & 1,42857 &  0,18 &  0,80178 &  0,85714 &  0,75    &  1\\\hline   
13 & 1,66667 &  0,08 &  0,35635 &  0,33333 &  0,38095 &  0,66667\\\hline  
14 & 2       &  0,25 &  1       &  1       &  1       &  1\\\hline  
15 & 0,97222 & $-$0,02 & $-$0,16667 & $-$0,22222 & $-$0,125   & $-$1\\
\hlinewd{2pt}
\end{tabular}
\end{table}
%\endgroup

Bernštejn v~\cite{Bern} věnoval pozornost také posouzení, jak jednotlivé charakteristiky závislosti náhodných jevů tuto závislost vyjadřují a~ilustruje jejich hodnoty na příkladech. Došel k~názoru, že nejvíce efektivní je charakteristika $Q(A,B)$ a~že ostatní  charakteristiky samy o~sobě závislost dostatečně nevyjadřují. To dokládají také vypočtené výsledky v~tabulce v~našem příkladu:
\begin{itemize}
\renewcommand\labelitemi{--}
\item 	hodnota $Q(A,B)=1$ v~řádcích \#9, \#10, \#12 a~\#14 reflektuje \uv{úplnou} kladnou závislost náhodných jevů $A,B$, tj. $A\subset B$,
\item hodnota $Q(A,B)=-1$ v~řádcích \#4, \#5 a~\#6 signalizuje \uv{úplnou} zápornou závislost disjunktních náhodných jevů $A,B$, tj. $A\cap B=\emptyset$.
\end{itemize}
V~tabulce výsledků je vidět, že ostatní charakteristiky takových \uv{úplných} závislostí tak striktní nejsou. Nezávislost náhodných jevů $A,B$ však identifikují všechny charakteristiky zcela přesně. V~případě podezřelé hodnoty charakteristiky $Q(A,B)=-1$ na řádku \#15 jde asi o~obecnější vlastnost této charakteristiky, která má tendenci závislosti více zdůrazňovat. Dokládá to také její fitované rozdělení pravděpodobnosti, typ U~– viz Obrázek~\ref{fig:8} a~\ref{fig:9}.  


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Modelování charakteristik závislosti metodou Monte Carlo a~jejich testy}
\label{oddil3}%
V~tomto oddílu věnujeme pozornost popisu Bernštejnových charakteristik z~hlediska \uv{hustoty} jejich možných hodnot. K~tomuto účelu jsme vytvořili dva simulační modely a~aplikovali metodu Monte Carlo. 

Model spočíval v~generování pseudonáhodných hodnot rovnoměrného rozdělení R(0;1) představující pravděpodobnosti $x=P(A)$, $y=P(B)$ a~$z=P(A\cap B)$, tj. hodnot náhodného vektoru $(X,Y,Z)$ s~nezávislými složkami, který nabýval nezávislé trojice hodnot $(x_i,y_i,z_i)\in\mlj0;1\mrj^3,\ i=1,\ldots,N$. Celkový počet generovaných trojic byl $N=100 000$. Z~těchto trojic jsme vybrali pouze ty, které splňovaly (viz Oddíl~\ref{oddil2}) nerovnosti 
\[
	z\leq x,\quad z\leq y \quad\text{a}\quad x+y\leq z+1.
\]

\newcommand{\scpic}{0.96}
Těchto trojic bylo celkem  $N=16 606$. Trojice $(x_i,y_i,z_i)$ jsou vlastně souřadnice bodů ve čtyřstěnu na Obrázku~\ref{fig:1}, tj. přípustných bodů pro náš model. Označme tuto množinu $M$.
\begin{figure}[!hbt]
\medskip%\smallskip
\centering
%\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Tetrahedron.pdf}}
  \caption{Množina $M$ přípustných bodů pro náš model.}
  \label{fig:1}
%\end{center}
\end{figure}

Připomeňme, že každá z~výše uvedených Bernštejnových charakteristik $\lambda(A,B),$ $\delta(A,B),$ $\rho(A,B),$ $\gamma_B(A),$ $\gamma_A(B),$ $Q(A,B)$ je funkcí proměnných $P(A), P(B)$ a~$P(A\cap B)$. Pro soubory simulovaných hodnot těchto charakteristik jsme našli následující spojitá rozdělení pravděpodobnosti, jejichž vhodnost jsme testovali více testy dobré shody. Fitování rozdělení a~testy jsme provedli pomocí profesionálního statistického softwaru STATGRAPHICS Centurion XV. Spočítali jsme také obvyklé popisné statistiky, ale uvádíme pouze výsledky $\chi^2$-testů se stejně pravděpodobnými třídami, ale aplikovali jsme také tyto testy: modifikovaný Kolmogorovův-Smirnovův, Kuiperův V, Cramerův\zz von Misesův W$^2$, Watsonův U$^2$ a~Andersonův-Darlingův A$^2$. Získané výsledky fitování a~$\chi^2$-testy jsou v~komentářích u~následujících obrázků.

Fitování rozdělení pravděpodobnosti koeficientu koherence $\lambda(A,B)$ nebylo snadné. Histogram simulací koeficientu koherence je na Obrázku~\ref{fig:2}. Po řadě výpočtů se nám ale podařilo najít rozdělení náhodné veličiny $\lambda^\ast(A,B)=\abs{\log\lambda(A,B)}^{0{,}65}$. Hustota jejího rozdělení je na Obrázku~\ref{fig:3}, u~něhož jsou také číselné výsledky. Zde a~dále značí log a~LOG přirozený logaritmus.

\afterpage{%
\begin{figure}[!ht]
\centering
%\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{SG_Lambda.pdf}}
  \caption{Histogram koeficientu koherence $\lambda(A,B)$.}
  \label{fig:2}
%\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!ht]
\centering
%\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{SG_Lambda_ast.pdf}}
  \caption{Hustota rozdělení veličiny $\lambda^\ast(A,B)=\abs{\log\lambda(A,B)}^{0{,}65}$.}
  \label{fig:3}
%\end{center}
\end{figure}
%\vspace{-7mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{ll}
\\[-6pt]
\multicolumn{2}{l}{\textit{Beta rozdělení se čtyřmi parametry veličiny $\lambda^\ast(A,B)=\abs{\log\lambda(A,B)}^{0{,}65}$}} \\
% \negthinspace\negthinspace\negthinspace
Odhady parametrů: & tvar $1=1{,}7677$, tvar $2=11{,}1031$\\
                  & práh $1=0{,}0000$\\
                  & práh $2=3{,}1671$\\
Testové kritérium: & $\chi^2=102{,}894;\ 95$ stupňů volnosti\\
& $P\text{-hodnota}=0{,}272385$
\end{tabular}}
\end{center}
\newpage
}

Fitování rozdělení pravděpodobnosti koeficientu kompatibility $\delta(A,B)$ nebylo zcela rutinní. Protože jde zřejmě o~rozdělení symetrické vzhledem ke střední hodnotě 0 (viz Obrázek~\ref{fig:4}), podařilo se najít rozdělení pro veličinu $\delta^\ast(A,B)=\abs{\delta(A,B)}^{1{,}69}$. Hustota jejího rozdělení je na Obrázku~\ref{fig:5}, u~něhož jsou také číselné výsledky.

\afterpage{%
\begin{figure}[!hbt]
\centering
%\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{SG_Asoc.pdf}}
  \caption{Histogram koeficientu kompatibility $\delta(A,B)$.}
  \label{fig:4}
%\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!hbt]
\centering
%\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{SG_Delta.pdf}}
  \caption{Hustota rozdělení veličiny $\delta^\ast(A,B)=\abs{\delta(A,B)}^{1{,}69}$.}
  \label{fig:5}
%\end{center}
\end{figure}
%\vspace{-7mm}
\begin{center}
\fbox{%\smallskip
\begin{tabular}{ll}
\\[-6pt]
\multicolumn{2}{l}{\textit{Beta rozdělení se čtyřmi parametry veličiny $\delta^\ast(A,B)=\abs{\delta(A,B)}^{1{,}69}$}} \\
Odhady parametrů: & tvar $1=0{,}521186$, tvar $2=4{,}22038$,\\
                  & práh $1\text{ (spec.)}=0{,}0$,\\
                  & práh $2\text{ (spec.)}=0{,}125$\\
Testové kritérium: & $\chi^2=107{,}476;\ 97$ stupňů volnosti\\
& $P\text{-hodnota}=0{,}21943$
\end{tabular}}
\end{center}
\newpage
}

\afterpage{
\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{SG_Korel.pdf}}
  \caption{Koeficient korelace $\rho(A,B)$.}
  \label{fig:6}
\end{center}
\end{figure}
\vspace{-7mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{ll}
\multicolumn{2}{l}{\textit{Trojúhelníkové rozdělení $\rho(A,B)$}} \\
Odhady parametrů: & dolní hranice $=-0{,}997904$,\\
                  & střed $=0{,}00129298$,\\
                  & horní hranice $=0{,}996505$\\
Testové kritérium: & $\chi^2=118{,}292;\ 96$ stupňů volnosti\\
& $P\text{-hodnota}=0{,}0610394$
\end{tabular}}
\end{center}

\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{SG_Gamma_BA.pdf}}
  \caption{Regresní koeficient $\gamma_B(A)$.}
  \label{fig:7}
\end{center}
\end{figure}
\vspace{-7mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{ll}
\multicolumn{2}{l}{\textit{Trojúhelníkové rozdělení $\gamma_B(A)$}} \\
Odhady parametrů: & dolní hranice $=-1{,}00537$,\\
                  & střed $=0{,}00131044$,\\
                  & horní hranice $=0{,}999346$\\
Testové kritérium: & $\chi^2=99{,}6847;\ 96$ stupňů volnosti\\
& $P\text{-hodnota}=0{,}378061$
\end{tabular}}
\end{center}

\begin{figure}[!hbt]
\centering%\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{SG_Gamma_AB.pdf}}
  \caption{Regresní koeficient $\gamma_A(B)$.}
  \label{fig:8}
%\end{center}
\end{figure}
\vspace{-7mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{ll}
\multicolumn{2}{l}{\textit{Trojúhelníkové rozdělení $\gamma_A(B)$}} \\
Odhady parametrů: & dolní hranice $=-1{,}00549$,\\
                  & střed $=-0{,}000760525$,\\
                  & horní hranice $=1{,}00042$\\
Testové kritérium: & $\chi^2=110{,}524;\ 96$ stupňů volnosti\\
& $P\text{-hodnota}=0{,}147524$
\end{tabular}}
\end{center}
\begin{figure}[!hbt]
\centering
%\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.85\textwidth]{SG_Kappa.pdf}}
  \caption{Histogram koeficientu asociace $Q(A,B)$.}
  \label{fig:9}
%\end{center}
\end{figure}
\newpage
}

Fitování rozdělení pravděpodobnosti koeficientu asociace $Q(A,B)$ rovněž nebylo triviální. Protože jde zřejmě o~rozdělení symetrické vzhledem ke střední hodnotě 0 (viz Obrázek~\ref{fig:9}), podařilo se najít rozdělení veličiny $Q^\ast=\abs{Q(A,B)}^{0{,}2}$. Hustota jejího rozdělení je na Obrázku~\ref{fig:10}, u~něhož jsou také číselné výsledky. 

\afterpage{%
\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=\textwidth]{SG_Kappa_Hust.pdf}}
  \caption{Hustota rozdělení veličiny $Q^\ast=\abs{Q(A,B)}^{0,2}$.}
  \label{fig:10}
\end{center}
\end{figure}
%\vspace{-7mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{ll}
\\[-6pt]
\multicolumn{2}{l}{\textit{Beta rozdělení veličiny $Q^\ast=\abs{Q(A,B)}^{0{,}2}$}} \\
Odhady parametrů: & tvar $1=-4{,}62199$,\\
				  & tvar $2=0{,}6702$,\\
Testové kritérium: & $\chi^2=119{,}768;\ 97$ stupňů volnosti\\
& $P\text{-hodnota}=0{,}0583414$
\end{tabular}}
\end{center}
\bigskip

\begin{figure}[!hbt]
\centering
%\begin{center}
  \frame{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{xy.pdf}}\hfill
  \frame{\includegraphics[width=0.49\textwidth]{contour_xy_refined.pdf}}
  \caption{Graf a vrstevnice plochy $z=xy$.}
  \label{fig:11}
%\end{center}
%\end{figure}%
%\begin{figure}[!hbt]
%\begin{center}
  %\frame{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{contour_xy_refined.pdf}}
  %\caption{Vrstevnice plochy $z=xy$.}
  \label{fig:12}
%\end{center}
\end{figure}
\newpage
}

Na Obrázku~\ref{fig:11} je graf plochy $z=xy$ 
%a~na Obrázku~\ref{fig:12} je graf 
a~jejích vrstevnic. Souřadnice bodů na této ploše $x=P(A), y=P(B)$ a~$z=P(A\cap B)$  odpovídají případům, kdy jsou náhodné jevy $A,B$ nezávislé. Triviální případy, kdy aspoň jedna pravděpodobnost $P(A),P(B)$ je  $0$ anebo $1$, což zaručuje, že i~tyto náhodné jevy $A,B$ jsou nezávislé, jsme bez újmy na obecnosti již na počátku Oddílu~\ref{oddil2} vynechali. Těmto případům odpovídá graficky čtverec $[0;1]^2$ a~izolovaný bod $(1;1)$. Množina všech bodů tvořících plochu s~rovnicí $z=xy$ je podmnožinou množiny přípustných bodů tvořících těleso $M$ a~je pochopitelně výrazně \uv{menší} než toto těleso. Zdánlivě proti tomu stojí modusy fitovaných rozdělení pravděpodobnosti unimodálních charakteristik $\lambda(A,B)$, $\delta(A,B)$, $\rho(A,B)$, $\gamma_B(A)$, $\gamma_A(B)$ a~také bimodální charakteristika $Q(A,B)$, která má rozdělení pravděpodobnosti typu U. To je ale pro jakékoli hodnoty a~tím také i~pro modus, spojitých náhodných veličin běžná vlastnost.


Na závěr tohoto oddílu zdůrazněme, že fitovaná rozdělení pravděpodobnosti charakteristik závislosti náhodných jevů jsou poplatná volbě v~našem případě aplikovaného maximálně entropického rovnoměrného rozdělení pro simulaci hodnot charakteristik metodou Monte Carlo. Jinak řečeno, tato rozdělení jsou odvislá od zvolené pravděpodobnostní míry (tj. pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce nebo hustoty pravděpodobnosti) a~obecně také od zvoleného borelovského jevového pole. Volba různých pravděpodobnostních měr pak povede k~různým rozdělením pravděpodobnosti Bernštejnových charakteristik závislosti náhodných jevů.     


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Závěr}
Popsané Bernštejnovy charakteristiky závislosti náhodných jevů jsou ne\-spor\-ně zajímavé svým pojetím a~prokazují velký autorův důvtip, pokud je nevymyslel již někdo jiný před ním. To se ale v~matematice občas stává. Jak již bylo na závěr předcházejícího oddílu řečeno, tyto charakteristiky budou mít pro jiná simulovaná rozdělení jejich hodnot jiná rozdělení pravděpodobnosti nežli ta, ke kterým jsme my dospěli. Jejich číselné vlastnosti popsané v~Oddílu~\ref{oddil2} ale na rozdělení pravděpodobnosti pozorovaných náhodných jevů $A,B$ nezávisí, takže poskytují užitečné kvalitativní informace pro posouzení závislosti náhodných jevů. Zdůrazněme, že tyto charakteristiky jsou zaměřené na vyjádření míry závislosti náhodných jevů $A,B$ a~ne na vyjádření míry jejich \uv{vzdálenosti} nebo incidence. 

Výsledky uvedené v~Oddílu~\ref{oddil3} byly získány pravděpodobnostním modelováním. V~návaznosti na tyto výsledky jsme rozpracovali a~simulovali opět metodou Monte Carlo chování statistických odhadů uvedených charakteristik, které vychází přímo z~pozorovaných absolutních četností nastoupení náhodných jevů $A$, $B$, $A\cap B$ a~nikoliv z~pravděpodobností těchto náhodných jevů. Pro testování nezávislosti náhodných jevů $A,B$ z~pozorovaných četností aplikujeme Mantelovu statistiku $M^2$ \cite{Agresti,Mantel}, statistiku $\chi^2$ a~logaritmickou interakcí pro čtyřpolní kontingenční tabulku \cite{Agresti,And}. První výsledky testů jsou dosti překvapivé, neboť i~pro různě velké náhodné výběry zhruba 2/3 hodnot pozorovaných četností v~každém výběru odpovídá nezávislosti náhodných jevů $A,B$. 

Další oblastí našeho zájmu je zjišťování počtů dvojic nezávislých náhodných jevů u~vybraných uniformních diskrétních rozdělení pravděpodobnosti. A~začali jsme se zabývat charakterizací vícenásobné míry závislosti skupiny náhodných jevů pomocí koeficientu korelace více náhodných jevů vzhledem k~jejich binárním Bernštejnovým koeficientům korelace.

\newpage
%\bigskip
\noindent
\textit{Poděkování:} Těchto výsledků bylo dosaženo v~rámci specifického výzkumu FSI-S-23-8161 \uv{Pokročilé matematické metody pro řešení úloh v~inženýrství} Fakulty strojního inženýrství Vysokého učení technického v~Brně. 


\renewcommand{\refname}{Literatura}
\begin{thebibliography}{10}
\itemsep=0pt

\bibitem{Agresti}
Agresti, A. \textit{Categorical Data Analysis.} 3rd ed., Hoboked: John Wiley and Sons, 2013, ISBN 978-0-470-46363-5.

\bibitem{And}
Anděl, J. \textit{Základy matematické statistiky.} 3. vyd. Praha: Mat\-fyz\-press, 2011. ISBN 978-80-7378-162-0.

\bibitem{Bern}
Bernštejn, S.\,N. \textit{Těorija verojatnostěj.} Moskva, Leningrad: Gosudarstvennoje izdatělstvo, 1927, 367~s.

\bibitem{Bohlmann}
Bohlmann, G. In \textit{Lebensversicherungsmathematik, Encyklopädie der\\ mathe\-ma\-tischen Wissenschaften,} Bd~I, Teil~2, Artikel~ID4b 1900,\\ s.~852--917.

\bibitem{Gliv}
Glivenko, V.\,I. \textit{Theorie pravděpodobnosti.} Praha: Přírodovědné nakladatelství JČMF, 1950, 248~s., (překlad ruského originálu Kurs těoriji verojatnostěj, 1934).

\bibitem{Kol}
Kolmogorov, A.\,N. \textit{Grundbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechnung.} Berlin: Springer, 1933.

\bibitem{Krengel}
Krengel, U. On the Contributions of Georg Bohlmann to Pro\-ba\-bi\-li\-ty Theory. \textit{Electronic Journal for History of Pro\-ba\-bi\-li\-ty and Statistics} [on-line], 2011, 14 s. [cit. 2024-04-30]. URL: \url{http://www.jehps.net/}, \url{http://www.emis.de/journals/JEHPS/juin2011/Krengel.pdf}.

\bibitem{Mantel}
Mantel, N. Chi-square tests with one degree of freedom: Extensions of the Mantel-Haenszel procedure. \textit{J. A. Stat. Assoc.} 58, 1963, s. 690--700.

\bibitem{Renyi}
Rényi, A. \textit{Teorie pravděpodobnosti.} Praha: Academia, 1972, 512~s.\\

\bibitem{Yule}
Yule, G.\,U. On the Association of Attributes in Statistics. \textit{Phil. Trans. Roy. Soc., Series A}, vol. 194, 1900, pp. 257–319.

\end{thebibliography}

